12:50 Английский Русский Функциональный ряд 4G 68 sin(x") n2 n=1 Выберите все верные утверждения. Варианты ответов: А) Ряд сходится равномерно на [-1,1]. В) Сумма ряда непрерывна на [-1,1]. С) Ряд можно почленно дифференцировать на (- D) Ряд можно почленно дифференцировать в точ Е) Радиус сходимости степенного ряда, полученн F) Ряд расходится при х = 1. Ответ представьте в формате, например, «C, D, E, F», «А, В» и т. д. Ответ: ous page Next page Информация

Разбираемся:

1. А) Ряд сходится равномерно на \[[-1, 1]]\].

   Функциональный ряд \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(x^n)}{n^2}\] сходится равномерно на \[[-1, 1]]\], так как \[|\frac{\sin(x^n)}{n^2}| \leq \frac{1}{n^2}\] для всех \[x \in [-1, 1]]\], а ряд \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\] сходится (это p-ряд с \[p = 2 > 1\]).

2. B) Сумма ряда непрерывна на \[[-1, 1]]\].

   Поскольку ряд сходится равномерно на \[[-1, 1]]\], и каждый член ряда \[\frac{\sin(x^n)}{n^2}\] является непрерывной функцией, то сумма ряда также непрерывна на \[[-1, 1]]\].

3. C) Ряд можно почленно дифференцировать на \[(-1, 1)]\].

   Производная члена ряда равна \[\frac{d}{dx} \frac{\sin(x^n)}{n^2} = \frac{\cos(x^n) \cdot n x^{n-1}}{n^2} = \frac{\cos(x^n) \cdot x^{n-1}}{n}\]. Ряд из производных \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(x^n) \cdot x^{n-1}}{n}\] сходится равномерно на \[(-1, 1)]\], что позволяет почленно дифференцировать исходный ряд.

4. D) Ряд можно почленно дифференцировать в точке \[x=0]\]

   В точке \[x=0\] производная члена ряда равна 0, и ряд из производных сходится.

5. E) Радиус сходимости степенного ряда, полученного...

   Это утверждение не относится к исходному ряду, так как он не является степенным.

6. F) Ряд расходится при \[x = 1]\]

   При \[x = 1\] ряд принимает вид \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(1)}{n^2} = \sin(1) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\]. Так как \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\] сходится, то и исходный ряд сходится при \[x = 1\]. Следовательно, утверждение F неверно.

Ответ: «A, B, C, D»