Аналог 21.11.6. Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 3 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун пробежал первый круг 6 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 5 км/ч меньше скорости второго.

Решение:

1. Определим, сколько пробежал первый бегун за час:

• Если до окончания круга оставалось 3 км, значит, первый бегун пробежал:
• \[ 1 - \frac{3}{L} \text{ круга} \]
• где L - длина круга.

2. Определим, сколько времени понадобилось второму бегуну, чтобы пробежать круг:

• Второй бегун пробежал круг на 6 минут раньше, чем первый.
• Время первого бегуна на круг: 1 час = 60 минут.
• Время второго бегуна на круг: 60 - 6 = 54 минуты.

3. Выразим скорости бегунов:

• Пусть:
• $$v_1$$ — скорость первого бегуна (км/ч)
• $$v_2$$ — скорость второго бегуна (км/ч)
• $$L$$ — длина круга (км)
• По условию: $$v_1 = v_2 - 5$$

4. Составим уравнения на основе данных за час:

• Для первого бегуна:
• За 1 час он пробежал $$L - 3$$ км.
• \[ v_1 \cdot 1 = L - 3 \]
• \[ v_1 = L - 3 \]
• Для второго бегуна:
• Второй бегун пробегает круг (L км) за 54 минуты (0.9 часа).
• \[ v_2 \cdot 0.9 = L \]
• \[ v_2 = \frac{L}{0.9} \]

5. Подставим $$v_1$$ и $$v_2$$ в уравнение $$v_1 = v_2 - 5$$:

• \[ L - 3 = \frac{L}{0.9} - 5 \]
• \[ L - \frac{L}{0.9} = 3 - 5 \]
• \[ L \left( 1 - \frac{1}{0.9} \right) = -2 \]
• \[ L \left( \frac{0.9 - 1}{0.9} \right) = -2 \]
• \[ L \left( \frac{-0.1}{0.9} \right) = -2 \]
• \[ L \cdot \left( -\frac{1}{9} \right) = -2 \]
• \[ L = 18 \text{ км} \]

6. Найдем скорости бегунов:

• $$v_1 = L - 3 = 18 - 3 = 15$$ км/ч
• $$v_2 = \frac{L}{0.9} = \frac{18}{0.9} = 20$$ км/ч
• Проверка: $$15 = 20 - 5$$ (верно).

Ответ: 15 км/ч