7 A M 6 4 X Π D K Дано: АК = 8.

Рассмотрим рисунок. Известно, что AK = 8, AM = 6, MK = 4, MD перпендикулярно AK, MD = x.

Треугольник АМK. Площадь треугольника можно найти несколькими способами.

Выразим площадь треугольника АМK двумя способами:

$$S = \frac{1}{2} \cdot AK \cdot MD$$

$$S = \sqrt{p(p-AM)(p-MK)(p-AK)}$$, где $$p = \frac{AM+MK+AK}{2}$$

Вычислим полупериметр треугольника:

$$p = \frac{6+4+8}{2} = \frac{18}{2} = 9$$

Подставим значение полупериметра в формулу Герона:

$$S = \sqrt{9(9-6)(9-4)(9-8)} = \sqrt{9 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 1} = \sqrt{27 \cdot 5} = \sqrt{135} = 3\sqrt{15}$$

Приравняем площади треугольника:

$$\frac{1}{2} \cdot AK \cdot MD = 3\sqrt{15}$$

$$\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot x = 3\sqrt{15}$$

$$4x = 3\sqrt{15}$$

$$x = \frac{3\sqrt{15}}{4}$$

Ответ: $$x = \frac{3\sqrt{15}}{4}$$