2 а M A D C B Дано: ДАСВ=90°, AC=4, MD=3. Найти МС.

Рассмотрим рисунок.

Так как ∠АСВ = 90°, то треугольник АВС - прямоугольный. Прямая а перпендикулярна прямой ВС.

Прямая MD перпендикулярна AB, следовательно, ΔАMD - прямоугольный.

Необходимо найти длину отрезка МС.

Для решения задачи воспользуемся подобием треугольников.

Рассмотрим ΔАMD и ΔАВС:

• ∠А - общий.
• ∠АMD = ∠АСВ = 90°.

Следовательно, ΔАMD ~ ΔАВС (по двум углам).

Запишем отношение соответственных сторон:

$$\frac{AM}{AC} = \frac{MD}{CB}$$.

Выразим СВ:

$$CB = \frac{AC \cdot MD}{AM}$$.

Так как СМ ⊥ АВ, то ΔАМС - прямоугольный.

Применим теорему Пифагора для ΔАМС:

$$AM^2 + MC^2 = AC^2$$.

Выразим AM:

$$AM = \sqrt{AC^2 - MC^2}$$.

Подставим AM в формулу для СВ:

$$CB = \frac{AC \cdot MD}{\sqrt{AC^2 - MC^2}}$$.

Пусть MC = x, тогда:

$$CB = \frac{4 \cdot 3}{\sqrt{4^2 - x^2}} = \frac{12}{\sqrt{16 - x^2}}$$.

Рассмотрим ΔАВС, применим теорему Пифагора:

$$AC^2 + CB^2 = AB^2$$.

Выразим АВ:

$$AB = \sqrt{AC^2 + CB^2}$$.

$$AB = \sqrt{4^2 + (\frac{12}{\sqrt{16 - x^2}})^2} = \sqrt{16 + \frac{144}{16 - x^2}}$$.

$$AB = \sqrt{\frac{16(16 - x^2) + 144}{16 - x^2}} = \sqrt{\frac{256 - 16x^2 + 144}{16 - x^2}}$$.

$$AB = \sqrt{\frac{400 - 16x^2}{16 - x^2}}$$.

$$AB = \sqrt{\frac{16(25 - x^2)}{16 - x^2}} = 4\sqrt{\frac{25 - x^2}{16 - x^2}}$$.

AD = AB - DB

В данной задаче недостаточно данных для нахождения МС.

Ответ: недостаточно данных для решения.