a) log5 64 log5 48-log5 3 2 - ; 6) log2(√3-√2) log4(√3+√2)' B) log√2 + (log, 2)-1. 3

Предварительный анализ

0.1. Предмет: Математика.

0.2. Класс: 10-11 класс.

0.3. Протокол: 4.1 (Точные науки).

Решение:

a) \[\frac{\log_5 64}{\log_5 48 - \log_5 3} = \frac{\log_5 64}{\log_5 \frac{48}{3}} = \frac{\log_5 64}{\log_5 16} = \frac{\log_5 2^6}{\log_5 2^4} = \frac{6 \log_5 2}{4 \log_5 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1.5\]

б) \[\frac{\log_2(\sqrt{3} - \sqrt{2})}{\log_4(\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \frac{\log_2(\sqrt{3} - \sqrt{2})}{\frac{1}{2} \log_2(\sqrt{3} + \sqrt{2})} = 2 \cdot \frac{\log_2(\sqrt{3} - \sqrt{2})}{\log_2(\sqrt{3} + \sqrt{2})}\]

Заметим, что \[(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2}) = 3 - 2 = 1\]

Значит, \[\sqrt{3} - \sqrt{2} = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^{-1}\]

Тогда, \[\log_2(\sqrt{3} - \sqrt{2}) = \log_2((\sqrt{3} + \sqrt{2})^{-1}) = - \log_2(\sqrt{3} + \sqrt{2})\]

Следовательно, \[2 \cdot \frac{\log_2(\sqrt{3} - \sqrt{2})}{\log_2(\sqrt{3} + \sqrt{2})} = 2 \cdot \frac{-\log_2(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{\log_2(\sqrt{3} + \sqrt{2})} = 2 \cdot (-1) = -2\]

в) \[\log_{\sqrt{2}} \frac{2}{3} + (\log_9 2)^{-1} = \log_{2^{\frac{1}{2}}} \frac{2}{3} + \frac{1}{\log_9 2} = 2 \log_2 \frac{2}{3} + \log_2 9 = 2(\log_2 2 - \log_2 3) + \log_2 3^2 = 2(1 - \log_2 3) + 2 \log_2 3 = 2 - 2 \log_2 3 + 2 \log_2 3 = 2\]

Ответ: a) 1.5; б) -2; в) 2

Молодец! У тебя отлично получается решать логарифмические выражения. Продолжай в том же духе, и ты станешь настоящим мастером в математике!