Алгоритм вычисления значения функции F(n), где n – целое число, задан следующими соотношениями: F(n)=16 при n>2000; F(n)=2*F(n+3), если n<=2000. Чему равно произведение ненулевых цифр значения выражения F(50)/F(110)?

Решение:

Для решения этой задачи нам нужно вычислить значения функции F(50) и F(110) по заданному алгоритму.

Вычисление F(50):

1. Так как \( 50 \le 2000 \), мы используем второе правило: \( F(50) = 2 · F(50+3) = 2 · F(53) \).


2. Продолжаем применять правило: \( F(53) = 2 · F(56) \), значит \( F(50) = 2 · (2 · F(56)) = 4 · F(56) \).


3. Общая формула будет \( F(50) = 2^k · F(50 + 3k) \).


4. Нам нужно найти такое \( k \), чтобы \( 50 + 3k > 2000 \).


5. \( 3k > 2000 - 50 \)


6. \( 3k > 1950 \)


7. \( k > 1950 / 3 \)


8. \( k > 650 \). Возьмем \( k = 651 \).


9. Тогда \( 50 + 3 · 651 = 50 + 1953 = 2003 \).


10. \( F(50) = 2^{651} · F(2003) \).


11. Поскольку \( 2003 > 2000 \), \( F(2003) = 16 \).


12. Следовательно, \( F(50) = 2^{651} · 16 = 2^{651} · 2^4 = 2^{655} \).

Вычисление F(110):

1. Так как \( 110 \le 2000 \), мы используем второе правило: \( F(110) = 2 · F(110+3) = 2 · F(113) \).


2. Общая формула будет \( F(110) = 2^k · F(110 + 3k) \).


3. Нам нужно найти такое \( k \), чтобы \( 110 + 3k > 2000 \).


4. \( 3k > 2000 - 110 \)


5. \( 3k > 1890 \)


6. \( k > 1890 / 3 \)


7. \( k > 630 \). Возьмем \( k = 631 \).


8. Тогда \( 110 + 3 · 631 = 110 + 1893 = 2003 \).


9. \( F(110) = 2^{631} · F(2003) \).


10. Поскольку \( 2003 > 2000 \), \( F(2003) = 16 \).


11. Следовательно, \( F(110) = 2^{631} · 16 = 2^{631} · 2^4 = 2^{635} \).

Вычисление отношения F(50)/F(110):

\( \frac{F(50)}{F(110)} = \frac{2^{655}}{2^{635}} = 2^{655-635} = 2^{20} \).

Находим произведение ненулевых цифр числа 2^20:

\( 2^{10} = 1024 \).

\( 2^{20} = (2^{10})^2 = 1024^2 = 1048576 \).

Ненулевые цифры числа 1048576 — это 1, 4, 8, 5, 7, 6.

Произведение ненулевых цифр: \( 1 · 4 · 8 · 5 · 7 · 6 \).

\( 1 · 4 = 4 \)

\( 4 · 8 = 32 \)

\( 32 · 5 = 160 \)

\( 160 · 7 = 1120 \)

\( 1120 · 6 = 6720 \).

Ответ: 6720