АЛГЕБРА 2 x-x 12 а, 6) x+3 x+3 6)2-10 8x x+2 x+2 2. Решите задачу: Катер прошел 80 км по течению реки и вернулся обратно, затратив 41 рость катера, если скорость течения реки 2 км/ч. на весь путь 9 часов. Найдите собственную ско- Найдите скорость течения ре- стоячей воде равна 18 км/ч. ки, если скорость катера в x² - 3x + 2 y = x² - 1 x² - 5x + 6 y = x²-4 3. Функция задана формулой Определите, при каком значении х зна- чение данной функции равно нулю. 4. Решите уравнение: 3 4 + 1 = a +2 a² + 4a + 4 2 15 + 1 = a-3 2 a² - 6a +9 Вариант Б1 Вариант Б2 1. Найдите корни уравнений: 3x+1 2x – 10 4x-1 2x + 12 a) = a) ; x-2 x+1 x+2 x 6 x+2 x-1 x-1 x 8 б) + б) + x-1 x+1 x² - 1 x+2 x-2 x² - 4 2. Решите задачу: Из города в село, расстоя- ние до которого равно велосипе- 120 км, выехал дист. Через 6 часов вслед за ним выехал скорость мотоциклист, которого на 10 км/ч больше скорости велосипедиста. Определите скорости велосипедиста и циклиста, если в Расстояние 700 км экспресс проходит на 4 часа быстрее товарного поезда, так как его скорость больше скорос- товарного поезда ти 20 км/ч. Определите на ско- рость каждого из поездов, если известно, что они дви- жутся с постоянной скорос-

Ответ: Решения ниже

АЛГЕБРА

1. 6) \[\frac{x^2-x}{x+3} = \frac{12}{x+3}\]

   • ОДЗ: x ≠ -3
   • Умножаем обе части уравнения на (x+3):
   • \(x^2 - x = 12\)
   • \(x^2 - x - 12 = 0\)
   • Решаем квадратное уравнение:
   • Дискриминант: \(D = (-1)^2 - 4(1)(-12) = 1 + 48 = 49\)
   • Корни: \(x_1 = \frac{1 + \sqrt{49}}{2} = \frac{1 + 7}{2} = 4\), \(x_2 = \frac{1 - \sqrt{49}}{2} = \frac{1 - 7}{2} = -3\)
   • Учитываем ОДЗ: x ≠ -3, значит, \(x_2 = -3\) не является решением.

   Ответ: x = 4

2. 6) \[\frac{x^2-10}{x+2} = \frac{3x}{x+2}\]

   • ОДЗ: x ≠ -2
   • Умножаем обе части уравнения на (x+2):
   • \(x^2 - 10 = 3x\)
   • \(x^2 - 3x - 10 = 0\)
   • Решаем квадратное уравнение:
   • Дискриминант: \(D = (-3)^2 - 4(1)(-10) = 9 + 40 = 49\)
   • Корни: \(x_1 = \frac{3 + \sqrt{49}}{2} = \frac{3 + 7}{2} = 5\), \(x_2 = \frac{3 - \sqrt{49}}{2} = \frac{3 - 7}{2} = -2\)
   • Учитываем ОДЗ: x ≠ -2, значит, \(x_2 = -2\) не является решением.

   Ответ: x = 5

2. Решите задачу:

Пусть x - собственная скорость катера (км/ч). Тогда скорость по течению реки x + 2 (км/ч), а против течения x - 2 (км/ч). Время, затраченное на путь по течению, равно \(\frac{80}{x+2}\) часов, а против течения - \(\frac{80}{x-2}\) часов. Общее время в пути составляет 9 часов. Составим уравнение:

\[\frac{80}{x+2} + \frac{80}{x-2} = 9\]

• Приводим к общему знаменателю:
• \[\frac{80(x-2) + 80(x+2)}{(x+2)(x-2)} = 9\]
• \[\frac{80x - 160 + 80x + 160}{x^2 - 4} = 9\]
• \[\frac{160x}{x^2 - 4} = 9\]
• \(160x = 9(x^2 - 4)\)
• \(160x = 9x^2 - 36\)
• \(9x^2 - 160x - 36 = 0\)

• Решаем квадратное уравнение:
• Дискриминант: \(D = (-160)^2 - 4(9)(-36) = 25600 + 1296 = 26896\)
• Корни: \(x_1 = \frac{160 + \sqrt{26896}}{18} = \frac{160 + 164}{18} = \frac{324}{18} = 18\), \(x_2 = \frac{160 - \sqrt{26896}}{18} = \frac{160 - 164}{18} = \frac{-4}{18} = -\frac{2}{9}\)
• Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем положительное значение.

Ответ: Собственная скорость катера равна 18 км/ч.

Найдите скорость течения реки, если скорость катера в стоячей воде равна 18 км/ч.

Пусть y - скорость течения реки (км/ч). Тогда скорость по течению реки 18 + y (км/ч), а против течения 18 - y (км/ч). Время, затраченное на путь по течению, равно \(\frac{80}{18+y}\) часов, а против течения - \(\frac{80}{18-y}\) часов. Общее время в пути составляет 9 часов. Составим уравнение:

\[\frac{80}{18+y} + \frac{80}{18-y} = 9\]

• Приводим к общему знаменателю:
• \[\frac{80(18-y) + 80(18+y)}{(18+y)(18-y)} = 9\]
• \[\frac{1440 - 80y + 1440 + 80y}{324 - y^2} = 9\]
• \[\frac{2880}{324 - y^2} = 9\]
• \(2880 = 9(324 - y^2)\)
• \(2880 = 2916 - 9y^2\)
• \(9y^2 = 2916 - 2880\)
• \(9y^2 = 36\)
• \(y^2 = 4\)
• \(y = \pm 2\)
• Так как скорость течения не может быть отрицательной, выбираем положительное значение.

Ответ: Скорость течения реки равна 2 км/ч.

3. Функция задана формулой

\[y = \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 1}\]

Определите, при каком значении x значение данной функции равно нулю.

Чтобы функция была равна нулю, числитель должен быть равен нулю, а знаменатель не должен быть равен нулю:

• \(x^2 - 3x + 2 = 0\)
• Дискриминант: \(D = (-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1\)
• Корни: \(x_1 = \frac{3 + \sqrt{1}}{2} = \frac{3 + 1}{2} = 2\), \(x_2 = \frac{3 - \sqrt{1}}{2} = \frac{3 - 1}{2} = 1\)

Проверяем, чтобы знаменатель не был равен нулю:

• \(x^2 - 1 ≠ 0\)
• \(x ≠ \pm 1\)
• Значит, x = 1 не подходит.

Ответ: x = 2

Функция задана формулой

\[y = \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 4}\]

Определите, при каком значении x значение данной функции равно нулю.

Чтобы функция была равна нулю, числитель должен быть равен нулю, а знаменатель не должен быть равен нулю:

• \(x^2 - 5x + 6 = 0\)
• Дискриминант: \(D = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1\)
• Корни: \(x_1 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2} = \frac{5 + 1}{2} = 3\), \(x_2 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2} = \frac{5 - 1}{2} = 2\)

Проверяем, чтобы знаменатель не был равен нулю:

• \(x^2 - 4 ≠ 0\)
• \(x ≠ \pm 2\)
• Значит, x = 2 не подходит.

Ответ: x = 3

4. Решите уравнение:

\[\frac{3}{a+2} + 1 = \frac{4}{a^2 + 4a + 4}\]

• Преобразуем уравнение:
• \(\frac{3}{a+2} + 1 = \frac{4}{(a+2)^2}\)
• Умножаем обе части уравнения на \((a+2)^2\) (при условии, что \(a ≠ -2\)):
• \(3(a+2) + (a+2)^2 = 4\)
• \(3a + 6 + a^2 + 4a + 4 = 4\)
• \(a^2 + 7a + 6 = 0\)

• Решаем квадратное уравнение:
• Дискриминант: \(D = 7^2 - 4(1)(6) = 49 - 24 = 25\)
• Корни: \(a_1 = \frac{-7 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-7 + 5}{2} = -1\), \(a_2 = \frac{-7 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-7 - 5}{2} = -6\)
• Оба корня удовлетворяют условию \(a ≠ -2\).

Ответ: a = -1, a = -6

Решите уравнение:

\[\frac{2}{a-3} + 1 = \frac{15}{a^2 - 6a + 9}\]

• Преобразуем уравнение:
• \(\frac{2}{a-3} + 1 = \frac{15}{(a-3)^2}\)
• Умножаем обе части уравнения на \((a-3)^2\) (при условии, что \(a ≠ 3\)):
• \(2(a-3) + (a-3)^2 = 15\)
• \(2a - 6 + a^2 - 6a + 9 = 15\)
• \(a^2 - 4a - 12 = 0\)

• Решаем квадратное уравнение:
• Дискриминант: \(D = (-4)^2 - 4(1)(-12) = 16 + 48 = 64\)
• Корни: \(a_1 = \frac{4 + \sqrt{64}}{2} = \frac{4 + 8}{2} = 6\), \(a_2 = \frac{4 - \sqrt{64}}{2} = \frac{4 - 8}{2} = -2\)
• Оба корня удовлетворяют условию \(a ≠ 3\).

Ответ: a = 6, a = -2

Вариант Б1

1. а) \[\frac{3x+1}{x-2} = \frac{2x-10}{x+1}\]

   • Умножаем крест-накрест:
   • \((3x+1)(x+1) = (2x-10)(x-2)\)
   • \(3x^2 + 3x + x + 1 = 2x^2 - 4x - 10x + 20\)
   • \(3x^2 + 4x + 1 = 2x^2 - 14x + 20\)
   • \(x^2 + 18x - 19 = 0\)
   • Решаем квадратное уравнение:
   • Дискриминант: \(D = 18^2 - 4(1)(-19) = 324 + 76 = 400\)
   • Корни: \(x_1 = \frac{-18 + \sqrt{400}}{2} = \frac{-18 + 20}{2} = 1\), \(x_2 = \frac{-18 - \sqrt{400}}{2} = \frac{-18 - 20}{2} = -19\)

   Ответ: x = 1, x = -19

2. б) \[\frac{x+2}{x-1} + \frac{6}{x+1} = \frac{x}{x^2-1}\]

   • Преобразуем уравнение:
   • \(\frac{x+2}{x-1} + \frac{6}{x+1} = \frac{x}{(x-1)(x+1)}\)
   • Умножаем обе части уравнения на \((x-1)(x+1)\) (при условии, что \(x ≠ \pm 1\)):
   • \((x+2)(x+1) + 6(x-1) = x\)
   • \(x^2 + x + 2x + 2 + 6x - 6 = x\)
   • \(x^2 + 8x - 4 = 0\)
   • Решаем квадратное уравнение:
   • Дискриминант: \(D = 8^2 - 4(1)(-4) = 64 + 16 = 80\)
   • Корни: \(x_1 = \frac{-8 + \sqrt{80}}{2} = \frac{-8 + 4\sqrt{5}}{2} = -4 + 2\sqrt{5}\), \(x_2 = \frac{-8 - \sqrt{80}}{2} = \frac{-8 - 4\sqrt{5}}{2} = -4 - 2\sqrt{5}\)
   • Оба корня удовлетворяют условию \(x ≠ \pm 1\).

   Ответ: x = -4 + 2√5, x = -4 - 2√5

Вариант Б2

1. а) \[\frac{4x-1}{x+2} = \frac{2x+12}{x}\]

   • Умножаем крест-накрест:
   • \((4x-1)(x) = (2x+12)(x+2)\)
   • \(4x^2 - x = 2x^2 + 4x + 12x + 24\)
   • \(4x^2 - x = 2x^2 + 16x + 24\)
   • \(2x^2 - 17x - 24 = 0\)
   • Решаем квадратное уравнение:
   • Дискриминант: \(D = (-17)^2 - 4(2)(-24) = 289 + 192 = 481\)
   • Корни: \(x_1 = \frac{17 + \sqrt{481}}{4}\), \(x_2 = \frac{17 - \sqrt{481}}{4}\)

   Ответ: x = (17 + √481)/4, x = (17 - √481)/4

2. б) \[\frac{x-1}{x+2} + \frac{8}{x-2} = \frac{x}{x^2-4}\]

   • Преобразуем уравнение:
   • \(\frac{x-1}{x+2} + \frac{8}{x-2} = \frac{x}{(x+2)(x-2)}\)
   • Умножаем обе части уравнения на \((x+2)(x-2)\) (при условии, что \(x ≠ \pm 2\)):
   • \((x-1)(x-2) + 8(x+2) = x\)
   • \(x^2 - 2x - x + 2 + 8x + 16 = x\)
   • \(x^2 + 4x + 18 = 0\)
   • Решаем квадратное уравнение:
   • Дискриминант: \(D = 4^2 - 4(1)(18) = 16 - 72 = -56\)
   • Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней.

   Ответ: нет действительных решений

2. Решите задачу:

Пусть x - скорость велосипедиста (км/ч), тогда x + 10 - скорость мотоциклиста (км/ч). Время, которое велосипедист был в пути, \(\frac{120}{x}\) часов. Мотоциклист выехал на 6 часов позже и был в пути \(\frac{120}{x+10}\) часов. Разница во времени составляет 6 часов. Составим уравнение:

\[\frac{120}{x} - \frac{120}{x+10} = 6\]

• Умножаем обе части уравнения на \(x(x+10)\) (при условии, что \(x ≠ 0, x ≠ -10\)):
• \(120(x+10) - 120x = 6x(x+10)\)
• \(120x + 1200 - 120x = 6x^2 + 60x\)
• \(6x^2 + 60x - 1200 = 0\)
• Делим обе части на 6:
• \(x^2 + 10x - 200 = 0\)

• Решаем квадратное уравнение:
• Дискриминант: \(D = 10^2 - 4(1)(-200) = 100 + 800 = 900\)
• Корни: \(x_1 = \frac{-10 + \sqrt{900}}{2} = \frac{-10 + 30}{2} = 10\), \(x_2 = \frac{-10 - \sqrt{900}}{2} = \frac{-10 - 30}{2} = -20\)
• Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем положительное значение.
• Скорость велосипедиста: x = 10 км/ч
• Скорость мотоциклиста: x + 10 = 20 км/ч

Ответ: Скорость велосипедиста 10 км/ч, скорость мотоциклиста 20 км/ч.

Решите задачу:

Пусть x - скорость товарного поезда (км/ч), тогда x + 20 - скорость экспресса (км/ч). Время, которое товарный поезд был в пути, \(\frac{700}{x}\) часов. Экспресс был в пути \(\frac{700}{x+20}\) часов. Разница во времени составляет 4 часа. Составим уравнение:

\[\frac{700}{x} - \frac{700}{x+20} = 4\]

• Умножаем обе части уравнения на \(x(x+20)\) (при условии, что \(x ≠ 0, x ≠ -20\)):
• \(700(x+20) - 700x = 4x(x+20)\)
• \(700x + 14000 - 700x = 4x^2 + 80x\)
• \(4x^2 + 80x - 14000 = 0\)
• Делим обе части на 4:
• \(x^2 + 20x - 3500 = 0\)

• Решаем квадратное уравнение:
• Дискриминант: \(D = 20^2 - 4(1)(-3500) = 400 + 14000 = 14400\)
• Корни: \(x_1 = \frac{-20 + \sqrt{14400}}{2} = \frac{-20 + 120}{2} = 50\), \(x_2 = \frac{-20 - \sqrt{14400}}{2} = \frac{-20 - 120}{2} = -70\)
• Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем положительное значение.
• Скорость товарного поезда: x = 50 км/ч
• Скорость экспресса: x + 20 = 70 км/ч

Ответ: Скорость товарного поезда 50 км/ч, скорость экспресса 70 км/ч.

Ответ: Решения выше