Алгебра 8 класс «Квадратные уравнения» 2 2 Вариант 4 1. Решите уравнения: а) 6x² + 18x = 0; 6) 4x²-9 = 0; 2 2 в) х² - 10x + 9 = 0; г) 3x² + 6x + 5 = 0. 2. Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 7 больше другого равно 144. Найдите эти числа. 3. Периметр прямоугольника равен 20 см, а его площадь - 24 см² Найдите длины сторон прямоугольника. 4. Число 4 является корнем уравнения 3x² + bx + 4 = 0. Найдите второй корень уравнения и значение в.

Привет! Сейчас помогу тебе решить эти задания. Будем разбирать все по порядку.

1. Решите уравнения:

а) \(6x^2 + 18x = 0\) Вынесем общий множитель \(6x\) за скобки: \(6x(x + 3) = 0\) Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно: \(6x = 0\) или \(x + 3 = 0\) \(x = 0\) или \(x = -3\) Ответ: \(x = 0, x = -3\) б) \(4x^2 - 9 = 0\) Это разность квадратов: \((2x)^2 - 3^2 = 0\) Разложим на множители: \((2x - 3)(2x + 3) = 0\) Следовательно: \(2x - 3 = 0\) или \(2x + 3 = 0\) \(2x = 3\) или \(2x = -3\) \(x = \frac{3}{2}\) или \(x = -\frac{3}{2}\) Ответ: \(x = \frac{3}{2}, x = -\frac{3}{2}\) в) \(x^2 - 10x + 9 = 0\) Решим квадратное уравнение через дискриминант: \(D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 - 36 = 64\) \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{10 \pm 8}{2}\) \(x_1 = \frac{10 + 8}{2} = \frac{18}{2} = 9\) \(x_2 = \frac{10 - 8}{2} = \frac{2}{2} = 1\) Ответ: \(x = 9, x = 1\) г) \(3x^2 + 6x + 5 = 0\) Решим квадратное уравнение через дискриминант: \(D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 36 - 60 = -24\) Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней. Ответ: нет действительных корней

2. Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 7 больше другого равно 144. Найдите эти числа.

Пусть одно число равно \(x\), тогда другое число равно \(x + 7\). Их произведение равно 144, значит: \(x(x + 7) = 144\) \(x^2 + 7x - 144 = 0\) Решим квадратное уравнение через дискриминант: \(D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-144) = 49 + 576 = 625\) \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm \sqrt{625}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 \pm 25}{2}\) \(x_1 = \frac{-7 + 25}{2} = \frac{18}{2} = 9\) \(x_2 = \frac{-7 - 25}{2} = \frac{-32}{2} = -16\) (не подходит, так как число должно быть натуральным) Следовательно, одно число равно 9, а другое \(9 + 7 = 16\). Ответ: 9 и 16

3. Периметр прямоугольника равен 20 см, а его площадь - 24 см². Найдите длины сторон прямоугольника.

Пусть длина прямоугольника равна \(a\), а ширина равна \(b\). Периметр прямоугольника: \(2(a + b) = 20\), следовательно, \(a + b = 10\). Площадь прямоугольника: \(a \cdot b = 24\). Выразим \(b\) через \(a\) из первого уравнения: \(b = 10 - a\). Подставим это выражение во второе уравнение: \(a(10 - a) = 24\) \(10a - a^2 = 24\) \(a^2 - 10a + 24 = 0\) Решим квадратное уравнение через дискриминант: \(D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 100 - 96 = 4\) \(a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{10 \pm 2}{2}\) \(a_1 = \frac{10 + 2}{2} = \frac{12}{2} = 6\) \(a_2 = \frac{10 - 2}{2} = \frac{8}{2} = 4\) Если \(a = 6\), то \(b = 10 - 6 = 4\). Если \(a = 4\), то \(b = 10 - 4 = 6\). Ответ: 6 см и 4 см

4. Число 4 является корнем уравнения \(3x^2 + bx + 4 = 0\). Найдите второй корень уравнения и значение b.

Если число 4 является корнем уравнения, то при подстановке этого значения в уравнение, оно должно обратиться в верное равенство: \(3(4)^2 + b(4) + 4 = 0\) \(3 \cdot 16 + 4b + 4 = 0\) \(48 + 4b + 4 = 0\) \(4b = -52\) \(b = -13\) Теперь уравнение имеет вид: \(3x^2 - 13x + 4 = 0\) Найдем второй корень уравнения. Так как у нас уже есть один корень (4), мы можем использовать теорему Виета. Сумма корней квадратного уравнения \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\), а произведение корней \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\). Мы знаем, что \(x_1 = 4\), поэтому: \(4 + x_2 = -\frac{-13}{3} = \frac{13}{3}\) \(x_2 = \frac{13}{3} - 4 = \frac{13}{3} - \frac{12}{3} = \frac{1}{3}\) Ответ: Второй корень равен \(\frac{1}{3}\), а \(b = -13\).