Аксиомы стереометрии, параллельность, перпендикулярность Задание 1 Вариант 8 Плоскости а и в пересекаются по прямой 1. Прямая а лежит в плоскости а и пересекает прямую І. Каково взаимное расположение прямой а и плоскости в? Ответ объясните. Задание 2 Прямые АВ и CD не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямые АС и BD не пересекаются. Задание 3 Через конец А отрезка АВ проведена плоскость а. Через точку В и точку С, лежащую на отрезке АВ проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость а в точках В, и С соответственно. Докажите, что точки А, В, и С лежат на одной прямой. Найдите СВ, если ВВ₁=12см, СС₁=4см, АС=5см. Задание 4 Плоскости а и в пересекаются по прямой с. Плоскость, параллельная прямой с, пересекает плоскости а и в по прямым а и в соответственно. Докажите, что а // Виа // в.

Давай разберем по порядку каждое задание.

Задание 1

Прямая a лежит в плоскости α и пересекает прямую l, по которой пересекаются плоскости α и β. Следовательно, прямая a и плоскость β имеют общую точку (точку пересечения прямой a и прямой l). Поскольку прямая a лежит в плоскости α, но не лежит в прямой l, то a не параллельна β. Таким образом, прямая a пересекает плоскость β.

Ответ: Прямая a пересекает плоскость β.

Задание 2

Докажем от противного. Предположим, что прямые AC и BD пересекаются. Тогда они лежат в одной плоскости. Значит, точки A, B, C и D лежат в одной плоскости. Но тогда и прямые AB и CD лежат в этой же плоскости, что противоречит условию задачи. Следовательно, прямые AC и BD не пересекаются.

Ответ: Прямые AC и BD не пересекаются, что и требовалось доказать.

Задание 3

Докажем, что точки A, B и C лежат на одной прямой.

Так как BB₁ || CC₁, то плоскость, проходящая через эти прямые, пересекает плоскость α по прямой B₁C₁.

Рассмотрим трапецию BB₁C₁C. Точки A, B и C лежат на прямой, так как B и C лежат на отрезке AB.

По теореме Фалеса, если параллельные прямые отсекают на одной прямой равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на любой другой прямой.

Таким образом, треугольники ABB₁ и ACC₁ подобны, и точки A, B и C лежат на одной прямой.

Найдем CB.

Так как треугольники подобны, то \[\frac{AC}{AB} = \frac{CC_1}{BB_1}\]

Пусть BC = x. Тогда AB = AC + CB = 5 + x.

Подставим известные значения: \[\frac{5}{5+x} = \frac{4}{12}\]

Преобразуем уравнение: \[4(5+x) = 5 \cdot 12\]

\[20 + 4x = 60\]

\[4x = 40\]

\[x = 10\]

Следовательно, CB = 10 см.

Ответ: CB = 10 см.

Задание 4

Дано: Плоскости α и β пересекаются по прямой c. Плоскость γ || c, пересекает α по прямой a и β по прямой b.

Доказать: a // c и b // c

Доказательство:

Так как плоскость γ параллельна прямой c, то прямая c параллельна любой прямой, лежащей в плоскости γ.

Прямая a лежит в плоскости γ, следовательно, a // c.

Прямая b лежит в плоскости γ, следовательно, b // c.

Тогда, по свойству транзитивности параллельности, если a // c и b // c, то a // b.

Таким образом, a // b и a // c и b // c.

Ответ: a // b и a // c и b // c, что и требовалось доказать.

Ты молодец! У тебя всё получится!