8. АК = СМ. Докажите, что ДАВС – равно бедренный.

Ответ: Доказано, что ΔABC равнобедренный.

1. Шаг 1: Анализ условия.

Дано: AK = CM, AM ⊥ BC, CK ⊥ AB.Доказать: ΔABC – равнобедренный.

2. Шаг 2: Рассмотрим треугольники AMB и CKB.

• AM ⊥ BC, CK ⊥ AB, следовательно, \( \angle AMB = \angle CKB = 90^\circ \).
• Рассмотрим прямоугольные треугольники AKC и CMA. У них AC - общая сторона, AK = CM (дано). Значит, \( \bigtriangleup AKC = \bigtriangleup CMA \) по гипотенузе и катету.

3. Шаг 3: Найдем равные углы.

Из равенства треугольников AKC и CMA следует, что \( \angle KCA = \angle MAC \). Обозначим этот угол как \( \alpha \).\[\angle KCA = \angle MAC = \alpha\]

4. Шаг 4: Выразим углы ∠BCA и ∠BAC.

Рассмотрим треугольник AKC. Так как \( \angle AKC = 90^\circ \), то \( \angle KAC = 90^\circ - \alpha \).\[\angle KAC = 90^\circ - \alpha\]Рассмотрим треугольник CMA. Так как \( \angle CMA = 90^\circ \), то \( \angle MCA = 90^\circ - \alpha \).\[\angle MCA = 90^\circ - \alpha\]Тогда можно выразить углы ∠BAC и ∠BCA:\[\angle BAC = \angle MAK + \angle KAC = \alpha + (90^\circ - \alpha) = 90^\circ - \alpha\]\[\angle BCA = \angle MCK + \angle KCA = \alpha + (90^\circ - \alpha) = 90^\circ - \alpha\]

5. Шаг 5: Сделаем вывод.

Так как \( \angle BAC = \angle BCA = 90^\circ - \alpha \), то треугольник ABC – равнобедренный с основанием AC.

Ответ: Доказано, что ΔABC равнобедренный.