ABCM — ромб, AB = CD, AM = MD, P_ABCD = 30. Найти S_ABCD.

Дано: ABCM — ромб, AB = CD, AM = MD, P_ABCD = 30.

Найти: S_ABCD.

Пусть сторона ромба равна a. Тогда AB = BC = CM = MA = a.

По условию AM = MD, значит MD = a. Также AB = CD, поэтому CD = a.

Следовательно, все стороны четырёхугольника ABCD равны a. Его периметр:

\(P_{ABCD}=4a\).

\(4a=30\), откуда \(a=7.5\).

Так как ABCM — ромб, то \(BC\parallel AM\). Поскольку точки A, M, D лежат на одной прямой, получаем \(BC\parallel AD\). Значит, ABCD — параллелограмм. Все его стороны равны, поэтому ABCD — ромб.

По рисунку диагональ CM перпендикулярна стороне CD, значит треугольник CMD прямоугольный. В нём CM=MD=a, поэтому это равнобедренный прямоугольный треугольник, а его высота к основанию CD равна \(\frac{a}{\sqrt{2}}\).

Площадь ромба ABCD равна произведению основания на высоту:

\(S_{ABCD}=a\cdot\frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{a^2}{\sqrt{2}}\).

\(S_{ABCD}=\frac{7.5^2}{\sqrt{2}}=\frac{56.25}{\sqrt{2}}=\frac{225\sqrt{2}}{8}\).

Ответ: \(S_{ABCD}=\frac{225\sqrt{2}}{8}\) квадратных единиц.