1. ABCDA1B1C1D1 – параллелепипед. Найдите объем параллелепипеда. Дано: В₁D = 10√2.

Рассмотрим параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁.

Дано: B₁D = $$10\sqrt{2}$$.

Угол B₁DA = 30°.

Угол BDA = 45°.

Необходимо найти объем параллелепипеда.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник B₁DA. Он является прямоугольным, так как BB₁ перпендикулярно плоскости ABCD, а значит, и прямой AD. Тогда угол B₁DA равен 30°.

$$sin(30°) = \frac{BB_1}{B_1D}$$

$$\frac{1}{2} = \frac{BB_1}{10\sqrt{2}}$$

$$BB_1 = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$$

2. Рассмотрим треугольник BDA. Он является прямоугольным, так как ABCD - прямоугольник, и угол BDA равен 45°. Следовательно, этот треугольник равнобедренный, BD = AB.

$$cos(45°) = \frac{AD}{B_1D}$$

$$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{AD}{10\sqrt{2}}$$

$$AD = \frac{10\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{10 \cdot 2}{2} = 10$$

$$tg(45°) = \frac{AB}{AD}$$

$$1 = \frac{AB}{10}$$

$$AB = 10$$

3. Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

$$V = S_{ABCD} \cdot BB_1$$

$$S_{ABCD} = AB \cdot AD = 10 \cdot 10 = 100$$

$$V = 100 \cdot 5\sqrt{2} = 500\sqrt{2}$$

Ответ: $$500\sqrt{2}$$