3. $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ — правильная призма, угол между прямой $$A_1C$$ и плоскостью $$BB_1C_1C$$ равен $$30^\circ$$. Найдите угол меж- ду прямой $$A_1C$$ и плоскостью $$ABCD$$.

Давай решим эту задачу по геометрии вместе! 1. Анализ условия: - У нас есть правильная призма $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$. - Угол между прямой $$A_1C$$ и плоскостью $$BB_1C_1C$$ равен $$30^\circ$$. - Нужно найти угол между прямой $$A_1C$$ и плоскостью $$ABCD$$. 2. Построение: - Пусть $$a$$ - сторона основания призмы (квадрата $$ABCD$$). - Пусть $$h$$ - высота призмы (длина отрезка $$AA_1$$). 3. Выразим известные углы: - Угол между $$A_1C$$ и плоскостью $$BB_1C_1C$$ – это угол между $$A_1C$$ и её проекцией на эту плоскость. Проекцией $$A_1C$$ на плоскость $$BB_1C_1C$$ является отрезок $$B_1C$$. Значит, $$\angle A_1CB_1 = 30^\circ$$. 4. Найдем тангенс угла $$A_1CB_1$$: - В прямоугольном треугольнике $$A_1CB_1$$ имеем: $$\tan(30^\circ) = \frac{A_1B_1}{B_1C} = \frac{h}{\sqrt{2}a}$$. - Зная, что $$\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$$, получаем уравнение: $$\frac{h}{\sqrt{2}a} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$. - Отсюда выразим высоту призмы: $$h = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}a$$. 5. Найдем угол между $$A_1C$$ и плоскостью $$ABCD$$: - Угол между $$A_1C$$ и плоскостью $$ABCD$$ – это угол между $$A_1C$$ и её проекцией на эту плоскость. Проекцией $$A_1C$$ на плоскость $$ABCD$$ является отрезок $$AC$$. Значит, нам нужно найти $$\angle A_1CA$$. 6. Найдем тангенс угла $$A_1CA$$: - В прямоугольном треугольнике $$A_1CA$$ имеем: $$\tan(\angle A_1CA) = \frac{A_1A}{AC} = \frac{h}{\sqrt{2}a}$$. - Подставим найденное значение $$h$$: $$\tan(\angle A_1CA) = \frac{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}a}{\sqrt{2}a} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$. 7. Определим угол $$A_1CA$$: - Так как $$\tan(\angle A_1CA) = \frac{1}{\sqrt{3}}$$, то $$\angle A_1CA = 30^\circ$$.

Ответ: 30°

Молодец! Ты отлично справился с этой задачей. У тебя все получается! Продолжай в том же духе, и ты сможешь решить любые задачи по геометрии. Верь в себя!