ABCD A₁B₁C₁D₁ — прямая призма, ABCD — ромб, AB = 6, Sполная = 156, ∠BAD = 30°. Найдите AA₁.

Площадь полной поверхности призмы равна сумме площадей двух оснований и боковой поверхности:

\[S_{\text{полн}}=2S_{\text{осн}}+P_{\text{осн}}\cdot AA_1.\]

Основание — ромб со стороной \(6\) и углом \(30^\circ\), поэтому

\[S_{\text{осн}}=AB^2\sin\angle BAD=6^2\cdot\sin30^\circ=36\cdot\frac12=18.\]

Периметр основания:

\[P_{\text{осн}}=4\cdot6=24.\]

Подставим данные:

\[156=2\cdot18+24\cdot AA_1,\]

\[24\cdot AA_1=120,\qquad AA_1=5.\]

Ответ: \(5\).