A9 Проверяемые знания и умения У10 Для функции Y = 4x³ + eˣ найдите первообразную

Решение:

Первообразная функции \( Y = 4x^3 + e^x \) находится путем интегрирования каждого члена функции отдельно.

1. Первообразная от \( 4x^3 \): \( \int 4x^3 dx = 4 \int x^3 dx = 4 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} + C_1 = 4 \cdot \frac{x^4}{4} + C_1 = x^4 + C_1 \)
2. Первообразная от \( e^x \): \( \int e^x dx = e^x + C_2 \)

Складывая первообразные, получаем:

\[ Y = (x^4 + C_1) + (e^x + C_2) = x^4 + e^x + (C_1 + C_2) \]

Обозначим \( C = C_1 + C_2 \) как произвольную постоянную.

\[ Y = x^4 + e^x + C \]

Сравниваем с вариантами ответа:

• 1) \( Y = x^2 + e^x + C \) - неверно
• 2) \( Y = x^4 + C \) - неверно
• 3) \( Y = 3x^4 + e^x + C \) - неверно
• 4) \( Y = x^4 + e^x + C \) - верно

Ответ: 4) \( Y = x^4 + e^x + C \)