А7. Найдите значение выражения 2cos^2(π/6) + sin(π/3) + tg(π/6) * ctg(π/3)

Решение:

Для вычисления значения выражения 2cos²(π/6) + sin(π/3) + tg(π/6) * ctg(π/3) нам понадобятся значения тригонометрических функций для углов π/6 (30°) и π/3 (60°):

• cos(π/6) = \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)
• sin(π/3) = \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)
• tg(π/6) = \( \frac{1}{\sqrt{3}} \)
• ctg(π/3) = \( \frac{1}{\sqrt{3}} \)

Подставим эти значения в выражение:

\[ 2\cos^2\left(\frac{\pi}{6}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) + \text{tg}\left(\frac{\pi}{6}\right) \cdot \text{ctg}\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \]

Выполним вычисления:

\[ = 2 \left(\frac{3}{4}\right) + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{3} \]

\[ = \frac{6}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{3} \]

\[ = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{3} \]

Приведём к общему знаменателю (6):

\[ = \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} \]

\[ = \frac{9}{6} + \frac{3\sqrt{3}}{6} + \frac{2}{6} \]

\[ = \frac{9 + 3\sqrt{3} + 2}{6} = \frac{11 + 3\sqrt{3}}{6} \]

Ответ: \( \frac{11 + 3\sqrt{3}}{6} \).