Контрольные задания > А5. В трапеции ABCD основание ВС перпендикулярно боковой стороне АВ, угол Д равен 60°, диагональ АС перпендикулярна стороне CD, равной 8 см. Найдите ВС.
Вопрос:

А5. В трапеции ABCD основание ВС перпендикулярно боковой стороне АВ, угол Д равен 60°, диагональ АС перпендикулярна стороне CD, равной 8 см. Найдите ВС.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Задание А5. Трапеция

Дано:

  • Трапеция ABCD.
  • BC ⊥ AB (угол B = 90°).
  • Угол D = 60°.
  • AC ⊥ CD (угол ACD = 90°).
  • CD = 8 см.

Найти: BC.

Решение:

  1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD.
  2. У нас есть угол D = 60° и катет CD = 8 см.
  3. В прямоугольном треугольнике тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему: \( \tan(D) = \frac{AC}{CD} \).
  4. Найдем длину катета AC: \( AC = CD \times \tan(D) \).
  5. \( AC = 8 \times \tan(60^\circ) = 8 \times \sqrt{3} \) см.
  6. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABC.
  7. У нас есть катет AB (неизвестен) и гипотенуза AC = \( 8\sqrt{3} \) см.
  8. Угол B = 90°.
  9. Проблема: В условии сказано, что BC перпендикулярно AB. Это значит, что угол ABC = 90°.
  10. Уточнение: В трапеции ABCD, основание BC перпендикулярно боковой стороне AB. Это означает, что AB является высотой трапеции, и угол ABC = 90°.
  11. В прямоугольном треугольнике ABC: \( BC^2 + AB^2 = AC^2 \).
  12. Есть ли информация о том, что ABCD - прямоугольная трапеция? Нет, только BC ⊥ AB.
  13. Пересмотрим условие: ABCD - трапеция. BC - основание. AB - боковая сторона. BC ⊥ AB. Угол D = 60°. AC ⊥ CD. CD = 8 см.
  14. Рисунок:BCBADCABACCD60°8 см
  15. Из рисунка и условия: BC параллельно AD (по определению трапеции, если BC и AD основания). Но условие говорит: BC - основание, AB - боковая сторона. Значит, BC и AD - основания.
  16. Угол ABC = 90°.
  17. Угол ACD = 90°.
  18. Угол D = 60°.
  19. CD = 8 см.
  20. В прямоугольном треугольнике ACD: \( \tan(D) = \frac{AC}{CD} \)
  21. \( AC = CD \times \tan(D) = 8 \times \tan(60^\circ) = 8 \times \sqrt{3} \) см.
  22. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABC.
  23. Мы знаем AC (гипотенуза) = \( 8\sqrt{3} \) см.
  24. AB — это боковая сторона, BC — другое основание.
  25. Уточнение: основание BC перпендикулярно боковой стороне AB. Значит, AB - высота.
  26. В прямоугольном треугольнике ABC: \( BC^2 + AB^2 = AC^2 \).
  27. Нужно найти AB.
  28. Вернемся к трапеции. BC || AD.
  29. Проведем высоту из C к AD. Пусть это будет CE. Тогда CE = AB. BCDE - прямоугольник. BE = CD = 8? Нет. BC = ED.
  30. Другой подход:
  31. В прямоугольном треугольнике ACD, \( \tan(60^\circ) = \frac{AC}{CD} \) -> \( AC = 8 \tan(60^\circ) = 83 \).
  32. \( \tan(ACD) = 90^\circ \).
  33. Рассмотрим треугольник ABC. Угол ABC = 90°.
  34. AC — гипотенуза. AC = \( 83 \).
  35. BC — катет. AB — катет.
  36. Нужна связь между AB и BC.
  37. Рассмотрим углы трапеции.
  38. BC || AD.
  39. Угол BAD + Угол ABC = 180° (если AB - боковая сторона). Но у нас угол ABC = 90°. Значит, угол BAD = 90°.
  40. Если угол BAD = 90°, то AB - высота.
  41. Тогда ABCD - прямоугольная трапеция.
  42. BC || AD, AB ⊥ BC, AB ⊥ AD.
  43. Угол D = 60°.
  44. В прямоугольном треугольнике ACD:
  45. \( \tan(D) = \frac{AC}{CD} \) -> \( AC = CD \tan(D) = 8 \tan(60^\circ) = 83 \).
  46. \( \tan(CAD) = \frac{CD}{AC} = \frac{8}{83} = \frac{1}{3} \) -> \( \tan(CAD) = \frac{1}{3} \), значит, Угол CAD = 30°.
  47. Угол BAD = 90°.
  48. Угол BAC = Угол BAD - Угол CAD = 90° - 30° = 60°.
  49. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABC.
  50. Угол ABC = 90°.
  51. Угол BAC = 60°.
  52. Следовательно, Угол ACB = 180° - 90° - 60° = 30°.
  53. В прямоугольном треугольнике ABC:
  54. \( \tan(BAC) = \frac{BC}{AB} \) -> \( \tan(60^\circ) = \frac{BC}{AB} \) -> \( BC = AB \tan(60^\circ) = AB 3 \).
  55. Также \( \tan(ACB) = \frac{AB}{BC} \) -> \( \tan(30^\circ) = \frac{AB}{BC} \) -> \( \frac{1}{3} = \frac{AB}{BC} \) -> \( BC = AB 3 \).
  56. Мы знаем AC = \( 83 \).
  57. Из \( BC = AB 3 \) -> \( AB = \frac{BC}{3} \).
  58. Подставим в теорему Пифагора для треугольника ABC: \( BC^2 + AB^2 = AC^2 \).
  59. \( BC^2 + 3 \times BC^2 = (83)^2 \).
  60. \( BC^2 + 3 BC^2 = 64 \times 3 \).
  61. \( 4 BC^2 = 192 \).
  62. \( BC^2 = \frac{192}{4} = 48 \).
  63. \( BC = 48 = 16 \times 3 = 43 \) см.
  64. Проверим варианты ответов: 8, 12, 16, 4.
  65. Мой ответ \( 43 \) не совпадает с вариантами. Где ошибка?
  66. Перечитаем условие ещё раз.
  67. В трапеции ABCD основание BC перпендикулярно боковой стороне AB. Угол D равен 60°, диагональ АС перпендикулярна стороне CD, равной 8 см. Найдите ВС.
  68. Ключевое: BC перпендикулярно AB. Угол ABC = 90°.
  69. AC перпендикулярно CD. Угол ACD = 90°.
  70. Угол D = 60°.
  71. CD = 8 см.
  72. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD.
  73. \( \tan(D) = \frac{AC}{CD} \). \( \tan(60^\circ) = \frac{AC}{8} \). \( AC = 8 \tan(60^\circ) = 83 \).
  74. Обратим внимание на то, что BC и AD - основания, значит, BC || AD.
  75. Угол ABC = 90°.
  76. Угол BCD + Угол ADC = 180° (если BC || AD).
  77. Угол DAB + Угол ABC = 180° (если AB || CD, но это не так).
  78. Свойства трапеции: Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна 180°.
  79. Угол ABC = 90°. Если AB - боковая сторона, то угол BAD = 180° - 90° = 90°.
  80. Значит, трапеция ABCD — прямоугольная. AB — высота.
  81. BC || AD. AB ⊥ BC, AB ⊥ AD.
  82. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD.
  83. \( \tan(60^\circ) = \frac{AC}{CD} \) -> \( AC = 8 \tan(60^\circ) = 83 \).
  84. В прямоугольном треугольнике ABC:
  85. \( AC^2 = AB^2 + BC^2 \). \( (83)^2 = AB^2 + BC^2 \). \( 192 = AB^2 + BC^2 \).
  86. Нужна еще одна связь.
  87. Угол CAD: В прямоугольном треугольнике ACD, \( \tan(CAD) = \frac{CD}{AC} = \frac{8}{83} = \frac{1}{3} \). Угол CAD = 30°.
  88. Угол BAD = 90°.
  89. Угол BAC = Угол BAD - Угол CAD = 90° - 30° = 60°.
  90. В прямоугольном треугольнике ABC:
  91. \( \tan(BAC) = \frac{BC}{AB} \). \( \tan(60^\circ) = \frac{BC}{AB} \). \( BC = AB 3 \).
  92. Подставляем AB из этого уравнения в уравнение Пифагора: \( AB = \frac{BC}{3} \).
  93. \( 192 = (\frac{BC}{3})^2 + BC^2 \).
  94. \( 192 = \frac{BC^2}{3} + BC^2 \).
  95. \( 192 = \frac{4 BC^2}{3} \).
  96. \( BC^2 = \frac{192 \times 3}{4} = 48 \times 3 = 144 \).
  97. \( BC = 144 = 12 \) см.

Проверка:

Если BC = 12 см, то \( AB = \frac{12}{3} = \frac{123}{3} = 43 \) см.

Проверим теорему Пифагора: \( AB^2 + BC^2 = (43)^2 + 12^2 = (16 \times 3) + 144 = 48 + 144 = 192 \).

\( AC^2 = (83)^2 = 64 \times 3 = 192 \).

Равенство выполняется.

Выводы:

  • Трапеция ABCD — прямоугольная, так как угол ABC = 90° и BC || AD, что влечет угол BAD = 90°.
  • AB — высота трапеции.
  • В прямоугольном треугольнике ACD: AC = \( 83 \) см.
  • В прямоугольном треугольнике ABC: BC = 12 см, AB = \( 43 \) см.

Ответ: 12 см.

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю