А4. Какой вид имеет уравнение касательной к графику функции y= x-3 / x+4 в точке с абсциссой хо= -3.

Решение:

Уравнение касательной к графику функции \( y = f(x) \) в точке \( x_0 \) имеет вид: \( y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0) \).

Сначала найдём значение функции в точке \( x_0 = -3 \):

\( y = f(-3) = \frac{-3 - 3}{-3 + 4} = \frac{-6}{1} = -6 \).

Теперь найдём производную функции \( y = \frac{x - 3}{x + 4} \) с помощью правила дифференцирования частного \( (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).

Пусть \( u = x - 3 \) и \( v = x + 4 \).

Тогда \( u' = 1 \) и \( v' = 1 \).

\( y' = \frac{1 \cdot (x + 4) - (x - 3) \cdot 1}{(x + 4)^2} \)

\( y' = \frac{x + 4 - x + 3}{(x + 4)^2} \)

\( y' = \frac{7}{(x + 4)^2} \).

Теперь найдём значение производной в точке \( x_0 = -3 \):

\( f'(-3) = \frac{7}{(-3 + 4)^2} = \frac{7}{1^2} = 7 \).

Подставим найденные значения в уравнение касательной:

\( y - (-6) = 7(x - (-3)) \)

\( y + 6 = 7(x + 3) \)

\( y + 6 = 7x + 21 \)

\( y = 7x + 21 - 6 \)

\( y = 7x + 15 \)

Ответ: Уравнение касательной имеет вид \( y = 7x + 15 \).