a) √x+1=x-5; B) √2x-1=x-2; 6) x+√2x+3=6; г) 3+3x+1=x.

Задание а)

Уравнение: \( \sqrt{x+1} = x-5 \)

Решение:

1. Возведём обе части уравнения в квадрат: \[ x+1 = (x-5)^2 \]
2. Раскроем скобки: \[ x+1 = x^2 - 10x + 25 \]
3. Перенесём все члены в одну сторону: \[ x^2 - 10x - x + 25 - 1 = 0 \]
4. Получим квадратное уравнение: \[ x^2 - 11x + 24 = 0 \]
5. Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 121 - 96 = 25 \)
6. Найдем корни: \( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \)
7. \( x_1 = \frac{11 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{11 + 5}{2} = \frac{16}{2} = 8 \)
8. \( x_2 = \frac{11 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{11 - 5}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)
9. Проверим корни, подставив их в исходное уравнение:
10. Для \( x = 8 \): \( \sqrt{8+1} = 8-5 \Rightarrow \sqrt{9} = 3 \Rightarrow 3 = 3 \) (Верно)
11. Для \( x = 3 \): \( \sqrt{3+1} = 3-5 \Rightarrow \sqrt{4} = -2 \Rightarrow 2 = -2 \) (Неверно)

Ответ: \( x = 8 \).

Задание B)

Уравнение: \( \sqrt{2x-1} = x-2 \)

Решение:

1. Возведём обе части уравнения в квадрат: \[ 2x-1 = (x-2)^2 \]
2. Раскроем скобки: \[ 2x-1 = x^2 - 4x + 4 \]
3. Перенесём все члены в одну сторону: \[ x^2 - 4x - 2x + 4 + 1 = 0 \]
4. Получим квадратное уравнение: \[ x^2 - 6x + 5 = 0 \]
5. Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16 \)
6. Найдем корни: \( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \)
7. \( x_1 = \frac{6 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 4}{2} = \frac{10}{2} = 5 \)
8. \( x_2 = \frac{6 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 4}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)
9. Проверим корни, подставив их в исходное уравнение:
10. Для \( x = 5 \): \( \sqrt{2 \cdot 5 - 1} = 5-2 \Rightarrow \sqrt{10-1} = 3 \Rightarrow \sqrt{9} = 3 \Rightarrow 3 = 3 \) (Верно)
11. Для \( x = 1 \): \( \sqrt{2 \cdot 1 - 1} = 1-2 \Rightarrow \sqrt{2-1} = -1 \Rightarrow \sqrt{1} = -1 \Rightarrow 1 = -1 \) (Неверно)

Ответ: \( x = 5 \).

Задание 6)

Уравнение: \( x + \sqrt{2x+3} = 6 \)

Решение:

1. Выразим корень из одной части: \[ \sqrt{2x+3} = 6-x \]
2. Возведём обе части уравнения в квадрат: \[ 2x+3 = (6-x)^2 \]
3. Раскроем скобки: \[ 2x+3 = 36 - 12x + x^2 \]
4. Перенесём все члены в одну сторону: \[ x^2 - 12x - 2x + 36 - 3 = 0 \]
5. Получим квадратное уравнение: \[ x^2 - 14x + 33 = 0 \]
6. Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 33 = 196 - 132 = 64 \)
7. Найдем корни: \( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \)
8. \( x_1 = \frac{14 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{14 + 8}{2} = \frac{22}{2} = 11 \)
9. \( x_2 = \frac{14 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{14 - 8}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)
10. Проверим корни, подставив их в исходное уравнение:
11. Для \( x = 11 \): \( 11 + \sqrt{2 \cdot 11 + 3} = 6 \Rightarrow 11 + \sqrt{22+3} = 6 \Rightarrow 11 + \sqrt{25} = 6 \Rightarrow 11 + 5 = 6 \Rightarrow 16 = 6 \) (Неверно)
12. Для \( x = 3 \): \( 3 + \sqrt{2 \cdot 3 + 3} = 6 \Rightarrow 3 + \sqrt{6+3} = 6 \Rightarrow 3 + \sqrt{9} = 6 \Rightarrow 3 + 3 = 6 \Rightarrow 6 = 6 \) (Верно)

Ответ: \( x = 3 \).

Задание г)

Уравнение: \( 3 + \sqrt{3x+1} = x \)

Решение:

1. Выразим корень из одной части: \[ \sqrt{3x+1} = x-3 \]
2. Возведём обе части уравнения в квадрат: \[ 3x+1 = (x-3)^2 \]
3. Раскроем скобки: \[ 3x+1 = x^2 - 6x + 9 \]
4. Перенесём все члены в одну сторону: \[ x^2 - 6x - 3x + 9 - 1 = 0 \]
5. Получим квадратное уравнение: \[ x^2 - 9x + 8 = 0 \]
6. Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 81 - 32 = 49 \)
7. Найдем корни: \( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \)
8. \( x_1 = \frac{9 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{9 + 7}{2} = \frac{16}{2} = 8 \)
9. \( x_2 = \frac{9 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{9 - 7}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)
10. Проверим корни, подставив их в исходное уравнение:
11. Для \( x = 8 \): \( 3 + \sqrt{3 \cdot 8 + 1} = 8 \Rightarrow 3 + \sqrt{24+1} = 8 \Rightarrow 3 + \sqrt{25} = 8 \Rightarrow 3 + 5 = 8 \Rightarrow 8 = 8 \) (Верно)
12. Для \( x = 1 \): \( 3 + \sqrt{3 \cdot 1 + 1} = 1 \Rightarrow 3 + \sqrt{3+1} = 1 \Rightarrow 3 + \sqrt{4} = 1 \Rightarrow 3 + 2 = 1 \Rightarrow 5 = 1 \) (Неверно)

Ответ: \( x = 8 \).