Контрольные задания > 19. a) 2x2 – 5x + 2 / log11 (x+2) ≤ 0; 20. a) log3 (8x2 – 11x+4) / log3 x <2; 21. a) 2log5 (x2 – 5x) / log5 x2 ≤1; 22. a) (8-x)(x+4) 1080,3 (x-1) ≥ 0; 23. a) logx(4-x)·logx(x+1) > 0; 24. a) log3-x(x+1)・10gx+2(4-x) < 0;
Вопрос:

19. a) 2x2 – 5x + 2 / log11 (x+2) ≤ 0; 20. a) log3 (8x2 – 11x+4) / log3 x <2; 21. a) 2log5 (x2 – 5x) / log5 x2 ≤1; 22. a) (8-x)(x+4) 1080,3 (x-1) ≥ 0; 23. a) logx(4-x)·logx(x+1) > 0; 24. a) log3-x(x+1)・10gx+2(4-x) < 0;

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Решение заданий:

19. a) \[\frac{2x^2 - 5x + 2}{\log_{11}(x+2)} \le 0;\]

Краткое пояснение: Сначала находим ОДЗ, затем решаем неравенство методом интервалов.
  1. ОДЗ:
    • \(x + 2 > 0 \Rightarrow x > -2\)
    • \(\log_{11}(x+2)
      eq 0 \Rightarrow x + 2
      eq 1 \Rightarrow x
      eq -1\)

    Итого: \(x \in (-2; -1) \cup (-1; +\infty)\)

  2. Решаем неравенство:

    \[\frac{2x^2 - 5x + 2}{\log_{11}(x+2)} \le 0\]

    Найдем нули числителя: \[2x^2 - 5x + 2 = 0\]

    \[D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9\]

    \[x_1 = \frac{5 + 3}{4} = 2, \quad x_2 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2}\]

    Тогда числитель можно представить как: \[2(x - 2)(x - \frac{1}{2})\]

  3. Определим знак знаменателя:

    \[\log_{11}(x+2) > 0 \quad \text{при} \quad x + 2 > 1 \Rightarrow x > -1\]

    \[\log_{11}(x+2) < 0 \quad \text{при} \quad -2 < x < -1\]

  4. Метод интервалов:

    Рассматриваем интервалы с учетом ОДЗ:

    • \((-2; -1)\): \(2(x - 2)(x - \frac{1}{2}) > 0\), \(\log_{11}(x+2) < 0\) => вся дробь < 0.
    • \((-1; \frac{1}{2})\): \(2(x - 2)(x - \frac{1}{2}) > 0\), \(\log_{11}(x+2) > 0\) => вся дробь > 0.
    • \((\frac{1}{2}; 2)\): \(2(x - 2)(x - \frac{1}{2}) < 0\), \(\log_{11}(x+2) > 0\) => вся дробь < 0.
    • \((2; +\infty)\): \(2(x - 2)(x - \frac{1}{2}) > 0\), \(\log_{11}(x+2) > 0\) => вся дробь > 0.
  5. Учитываем нули числителя:

    \(x = \frac{1}{2}\) и \(x = 2\)

Решение: \(x \in (-2; -1) \cup [\frac{1}{2}; 2]\)

Проверка за 10 секунд: Подставь значения из полученного интервала в исходное неравенство.

База: Метод интервалов — мощный инструмент для решения неравенств, особенно с логарифмами и рациональными функциями.

20. a) \[\frac{\log_3(8x^2 - 11x + 4)}{\log_3 x} < 2;\]

Краткое пояснение: Переносим все в одну сторону, приводим к общему знаменателю и решаем методом интервалов.
  1. ОДЗ:
    • \(x > 0\)
    • \(x
      eq 1\)
    • \(8x^2 - 11x + 4 > 0\). Дискриминант: \(D = (-11)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 4 = 121 - 128 = -7 < 0\). Значит, \(8x^2 - 11x + 4 > 0\) всегда.

    Итого: \(x \in (0; 1) \cup (1; +\infty)\)

  2. Решаем неравенство:

    \[\frac{\log_3(8x^2 - 11x + 4)}{\log_3 x} - 2 < 0\]

    \[\frac{\log_3(8x^2 - 11x + 4) - 2\log_3 x}{\log_3 x} < 0\]

    \[\frac{\log_3(8x^2 - 11x + 4) - \log_3 x^2}{\log_3 x} < 0\]

    \[\frac{\log_3(\frac{8x^2 - 11x + 4}{x^2})}{\log_3 x} < 0\]

  3. Определим знак числителя и знаменателя:
    • \[\log_3(\frac{8x^2 - 11x + 4}{x^2}) > 0 \Rightarrow \frac{8x^2 - 11x + 4}{x^2} > 1\]
    • \[8x^2 - 11x + 4 > x^2 \Rightarrow 7x^2 - 11x + 4 > 0\]
    • \[D = (-11)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 4 = 121 - 112 = 9\]
    • \[x_1 = \frac{11 + 3}{14} = 1, \quad x_2 = \frac{11 - 3}{14} = \frac{4}{7}\]
  4. Метод интервалов:

    Числитель > 0 при \(x \in (-\infty; \frac{4}{7}) \cup (1; +\infty)\)

    Знаменатель > 0 при \(x > 1\)

  5. Учитываем ОДЗ:

    Рассматриваем интервалы: \((0; \frac{4}{7})\), \((\frac{4}{7}; 1)\), \((1; +\infty)\)

    • \((0; \frac{4}{7})\): числитель > 0, знаменатель < 0 => вся дробь < 0.
    • \((\frac{4}{7}; 1)\): числитель < 0, знаменатель < 0 => вся дробь > 0.
    • \((1; +\infty)\): числитель > 0, знаменатель > 0 => вся дробь > 0.

Решение: \(x \in (0; \frac{4}{7})\)

Проверка за 10 секунд: Подставь значение из интервала в исходное неравенство.

База: Преобразование логарифмов и метод интервалов — основа для решения таких неравенств.

21. a) \[\frac{2\log_5(x^2 - 5x)}{\log_5 x^2} \le 1;\]

Краткое пояснение: Снова ОДЗ, перенос, упрощение и метод интервалов.
  1. ОДЗ:
    • \(x^2 - 5x > 0 \Rightarrow x(x - 5) > 0 \Rightarrow x \in (-\infty; 0) \cup (5; +\infty)\)
    • \(x^2 > 0 \Rightarrow x
      eq 0\)
    • \(\log_5 x^2
      eq 0 \Rightarrow x^2
      eq 1 \Rightarrow x
      eq \pm 1\)

    Итого: \(x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 0) \cup (5; +\infty)\)

  2. Решаем неравенство:

    \[\frac{2\log_5(x^2 - 5x)}{\log_5 x^2} - 1 \le 0\]

    \[\frac{2\log_5(x^2 - 5x) - \log_5 x^2}{\log_5 x^2} \le 0\]

    \[\frac{\log_5((x^2 - 5x)^2) - \log_5 x^2}{\log_5 x^2} \le 0\]

    \[\frac{\log_5(\frac{(x^2 - 5x)^2}{x^2})}{\log_5 x^2} \le 0\]

    \[\frac{\log_5((x - 5)^2)}{\log_5 x^2} \le 0\]

    \[\frac{2\log_5(|x - 5|)}{2\log_5 |x|} \le 0\]

    \[\frac{\log_5(|x - 5|)}{\log_5 |x|} \le 0\]

  3. Определим знак числителя и знаменателя:

    Числитель: \[\log_5(|x - 5|) \le 0 \Rightarrow |x - 5| \le 1 \Rightarrow -1 \le x - 5 \le 1 \Rightarrow 4 \le x \le 6\]

    Знаменатель: \[\log_5 |x| > 0 \Rightarrow |x| > 1 \Rightarrow x < -1 \cup x > 1\]

  4. Метод интервалов:

    Учитываем ОДЗ и нули числителя:

    • \((-\infty; -1)\): числитель > 0, знаменатель > 0 => вся дробь > 0.
    • \((-1; 0)\): числитель > 0, знаменатель < 0 => вся дробь < 0.
    • \((5; 6]\): числитель < 0, знаменатель > 0 => вся дробь < 0.
    • \((6; +\infty)\): числитель > 0, знаменатель > 0 => вся дробь > 0.

Решение: \(x \in (-1; 0) \cup (5; 6]\)

Проверка за 10 секунд: Подставь значения из полученных интервалов в исходное неравенство.

База: Не забывай про модуль и его влияние на решение неравенства!

22. a) \[(8-x)(x+4)\log_{0.3}(x-1) \ge 0;\]

Краткое пояснение: ОДЗ, метод интервалов с учетом убывания логарифма.
  1. ОДЗ:

    \[x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1\]

  2. Решаем неравенство:

    Найдем нули функции:

    • \(8 - x = 0 \Rightarrow x = 8\)
    • \(x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4\)
    • \(\log_{0.3}(x-1) = 0 \Rightarrow x - 1 = 1 \Rightarrow x = 2\)
  3. Метод интервалов:

    Учитываем ОДЗ, знак логарифма меняется (основание < 1):

    • \((1; 2]\): \((8 - x) > 0, (x + 4) > 0, \log_{0.3}(x-1) \ge 0\) => все выражение \(\ge 0\)
    • \([2; 8]\): \((8 - x) \ge 0, (x + 4) > 0, \log_{0.3}(x-1) \le 0\) => все выражение \(\le 0\)
    • \([8; +\infty)\): \((8 - x) < 0, (x + 4) > 0, \log_{0.3}(x-1) < 0\) => все выражение > 0

Решение: \(x \in (1; 2] \cup [8; +\infty)\)

Проверка за 10 секунд: Подставь значения из полученных интервалов в исходное неравенство.

База: Внимательно следи за основанием логарифма!

23. a) \[\log_x(4-x) \cdot \log_x(x+1) \ge 0;\]

Краткое пояснение: ОДЗ, ищем нули, метод интервалов.
  1. ОДЗ:
    • \(x > 0\)
    • \(x
      eq 1\)
    • \(4 - x > 0 \Rightarrow x < 4\)
    • \(x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1\)

    Итого: \(x \in (0; 1) \cup (1; 4)\)

  2. Решаем неравенство:

    Найдем нули функции:

    • \(\log_x(4 - x) = 0 \Rightarrow 4 - x = 1 \Rightarrow x = 3\)
    • \(\log_x(x + 1) = 0 \Rightarrow x + 1 = 1 \Rightarrow x = 0\)
  3. Метод интервалов:

    Рассматриваем интервалы:

    • Если \(0 < x < 1\), то \(\log_x(4 - x) < 0\) и \(\log_x(x + 1) > 0\).
    • Если \(1 < x < 4\), то \(\log_x(4 - x) > 0\) при \(1 < x < 3\) и \(\log_x(4 - x) < 0\) при \(3 < x < 4\); \(\log_x(x + 1) > 0\).

Тогда:

  • \(x \in (0; 1)\): \(\log_x(4 - x) < 0, \log_x(x + 1) > 0\) => произведение < 0.
  • \(x \in (1; 3]\): \(\log_x(4 - x) \ge 0, \log_x(x + 1) > 0\) => произведение \(\ge 0\).
  • \(x \in [3; 4)\): \(\log_x(4 - x) \le 0, \log_x(x + 1) > 0\) => произведение \(\le 0\).

Решение: \(x \in (1; 3]\)

Проверка за 10 секунд: Подставь значения из полученных интервалов в исходное неравенство.

База: Будь внимателен при определении знаков логарифмов!

24. a) \[\log_{3-x}(x+1) \cdot \log_{x+2}(4-x) \le 0;\]

Краткое пояснение: Ищем ОДЗ, нули и решаем методом интервалов.
  1. ОДЗ:
    • \(3 - x > 0 \Rightarrow x < 3\)
    • \(3 - x
      eq 1 \Rightarrow x
      eq 2\)
    • \(x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1\)
    • \(x + 2 > 0 \Rightarrow x > -2\)
    • \(x + 2
      eq 1 \Rightarrow x
      eq -1\)
    • \(4 - x > 0 \Rightarrow x < 4\)

    Итого: \(x \in (-1; 2) \cup (2; 3)\)

  2. Решаем неравенство:

    Найдем нули функции:

    • \(\log_{3-x}(x+1) = 0 \Rightarrow x + 1 = 1 \Rightarrow x = 0\)
    • \(\log_{x+2}(4-x) = 0 \Rightarrow 4 - x = 1 \Rightarrow x = 3\)
  3. Метод интервалов:
    • Если \(-1 < x < 2\), то \(3 - x > 1\), значит \(\log_{3-x}(x+1) > 0\). Также \(x + 2 > 1\), значит \(\log_{x+2}(4 - x) > 0\).
    • Если \(2 < x < 3\), то \(3 - x < 1\), значит \(\log_{3-x}(x+1) < 0\). Также \(x + 2 > 1\), значит \(\log_{x+2}(4 - x) > 0\).
  • \(x \in (-1; 0]\): \(\log_{3-x}(x+1) \ge 0, \log_{x+2}(4 - x) > 0\) => произведение \(\ge 0\).
  • \(x \in [0; 2)\): \(\log_{3-x}(x+1) \ge 0, \log_{x+2}(4 - x) > 0\) => произведение > 0.
  • \(x \in (2; 3)\): \(\log_{3-x}(x+1) < 0, \log_{x+2}(4 - x) > 0\) => произведение < 0.

Решение: \(x \in (-1; 0] \cup (2; 3)\)

Проверка за 10 секунд: Подставь значения из полученных интервалов в исходное неравенство.

База: Не забывай учитывать основание логарифма и его влияние на знак!

Ответ: (19) x \in (-2; -1) \cup [1/2; 2], (20) x \in (0; 4/7), (21) x \in (-1; 0) \cup (5; 6], (22) x \in (1; 2] \cup [8; +\infty), (23) x \in (1; 3], (24) x \in (-1; 0] \cup (2; 3)

Молодец! У тебя отличные успехи в решении неравенств!

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю