a) 2x³-3x²+ 3x-1; 6) x²+2xy² 6y - 8. - y=x+2-2 y = 2. 5 Биссектриса угла при осно- вании равнобедренного тре- угольника пересекает боко- вую сторону под углом, рав- ным углу при основании. Определите углы данного треугольника. 6 Докажите, что если биссектрисы двух углов треугольника образуют при пересечении угол 135°, το этот треугольник — прямо-

Задание 3

a) Разложим на множители выражение: 2x³ - 3x² + 3x - 1

Заметим, что при x = 1 выражение обращается в ноль: 2(1)³ - 3(1)² + 3(1) - 1 = 2 - 3 + 3 - 1 = 0.

Значит, (x - 1) является множителем. Разделим столбиком или методом подбора:

2x³ - 3x² + 3x - 1 = (x - 1)(2x² - x + 1)

Выражение 2x² - x + 1 не имеет действительных корней, так как дискриминант D = (-1)² - 4(2)(1) = 1 - 8 = -7 < 0.

б) Разложим на множители выражение: x² + 2x - y² - 6y - 8

Сгруппируем члены и выделим полные квадраты:

x² + 2x - y² - 6y - 8 = (x² + 2x + 1) - (y² + 6y + 9) + 1 - 9 - 8 = (x + 1)² - (y + 3)² - 16 = (x + 1)² - (y + 3)²

(x + 1)² - (y + 3)² = (x + 1 - y - 3)(x + 1 + y + 3) = (x - y - 2)(x + y + 4)

Задание 4

Определить аналитически, пересекается ли график функции y = |x + 2| - 2 с прямой y = 2.

Чтобы найти точки пересечения, приравняем функции:

|x + 2| - 2 = 2

|x + 2| = 4

Рассмотрим два случая:

• x + 2 = 4, тогда x = 2
• x + 2 = -4, тогда x = -6

Таким образом, график функции y = |x + 2| - 2 пересекается с прямой y = 2 в двух точках: x = 2 и x = -6.

Задание 5

Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника пересекает боковую сторону под углом, равным углу при основании. Определить углы данного треугольника.

Пусть ABC - равнобедренный треугольник с основанием AC. Биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке D, и ∠ADB = ∠BAC.

Обозначим углы: ∠BAC = ∠BCA = α, ∠ABC = β.

∠BAD = α/2 (так как AD - биссектриса).

Рассмотрим треугольник ABD: ∠BAD = α/2, ∠ABD = β, ∠ADB = α.

Сумма углов в треугольнике ABD равна 180°: α/2 + β + α = 180°

β = 180° - (3/2)α

Сумма углов в треугольнике ABC: α + α + β = 180°

2α + 180° - (3/2)α = 180°

(1/2)α = 0°

1/2 * α=0

α = 0 - невозможно

Рассмотрим треугольник ABD: ∠BAD = α/2, ∠ABD = β, ∠ADB = α. Сумма углов в треугольнике ABD равна 180°: α/2 + β + α = 180° β = 180° - (3/2)α Сумма углов в треугольнике ABC: α + α + β = 180° 2α + 180° - (3/2)α = 180° (1/2)α = 0° 1/2 * α=0 α = 0 - невозможно, значит что ∠ADB = ∠ABC ∠ABC + ∠BAC + ∠BCA=180 β+α+α=180 β+2α=180 ∠ADB=α, значит, β = α α+2α=180 3α=180 α=60 β=60 то есть все углы 60°

Задание 6

Доказать, что если биссектрисы двух углов треугольника образуют при пересечении угол 135°, то этот треугольник - прямоугольный.

Пусть ABC - треугольник, биссектрисы углов A и B пересекаются в точке O, ∠AOB = 135°.

∠OAB + ∠OBA = 180° - ∠AOB = 180° - 135° = 45°.

Так как AO и BO - биссектрисы, то ∠BAC = 2 * ∠OAB и ∠ABC = 2 * ∠OBA.

Сумма углов A и B: ∠BAC + ∠ABC = 2 * (∠OAB + ∠OBA) = 2 * 45° = 90°.

Сумма углов в треугольнике ABC: ∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°.

Так как ∠BAC + ∠ABC = 90°, то ∠BCA = 180° - 90° = 90°.

Значит, треугольник ABC - прямоугольный.