а) В магазин поступают лампочки с трёх заводов: 50% с первого, 30% со второго и 20% с третьего. Среди лампочек, изготовленных первым заводом, 80% первосортных, вторым – 70%, третьим – 60%. Какова вероятность, что купленная в магазине лампочка окажется первого сорта?

Решение:

Обозначим события:

• $$A$$ — лампочка первого сорта.
• $$B_1$$ — лампочка изготовлена первым заводом.
• $$B_2$$ — лампочка изготовлена вторым заводом.
• $$B_3$$ — лампочка изготовлена третьим заводом.

По условию задачи известны следующие вероятности:

• $$P(B_1) = 0.50$$
• $$P(B_2) = 0.30$$
• $$P(B_3) = 0.20$$
• $$P(A|B_1) = 0.80$$ (вероятность, что лампочка первого сорта, если она изготовлена первым заводом)
• $$P(A|B_2) = 0.70$$ (вероятность, что лампочка первого сорта, если она изготовлена вторым заводом)
• $$P(A|B_3) = 0.60$$ (вероятность, что лампочка первого сорта, если она изготовлена третьим заводом)

Для нахождения общей вероятности того, что купленная лампочка окажется первого сорта, используем формулу полной вероятности:

\[ P(A) = P(A|B_1)P(B_1) + P(A|B_2)P(B_2) + P(A|B_3)P(B_3) \]

Подставим известные значения:

\[ P(A) = (0.80 \times 0.50) + (0.70 \times 0.30) + (0.60 \times 0.20) \]

\[ P(A) = 0.40 + 0.21 + 0.12 \]

\[ P(A) = 0.73 \]

Таким образом, вероятность того, что купленная в магазине лампочка окажется первого сорта, составляет 0.73.

Ответ: 0.73