Деепричастный оборот должен относиться к подлежащему. То есть действие, выраженное деепричастием, должно совершаться тем же лицом или предметом, что и действие, выраженное глаголом-сказуемым.
В 4-м предложении деепричастный оборот относится к подлежащему (ощущение появляется).
Правильный ответ: 4) Охотно берясь за любую работу, появляется ощущение своей полезности.