а) Упростиь выражение 1 - sin² α (1 + ctg² α); б)Решить уравнение cos x = 1/2; в) Вычислить объем пространственной фигуры

Решение:

а) Упрощение выражения:

Используем основное тригонометрическое тождество: \( 1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\text{sin}^2 \alpha} \).

Подставим это в исходное выражение:

\( 1 - \text{sin}^2 \alpha \left( \frac{1}{\text{sin}^2 \alpha} \right) \)

\( = 1 - \frac{\text{sin}^2 \alpha}{\text{sin}^2 \alpha} = 1 - 1 = 0 \).

Ответ: 0

б) Решение уравнения:

Уравнение \( \cos x = \frac{1}{2} \) является простейшим тригонометрическим уравнением.

Общее решение имеет вид:

\( x = \pm \arccos \left( \frac{1}{2} \right) + 2\pi n \), где \( n \) — целое число.

Так как \( \arccos \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{\pi}{3} \), то:

\( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \)

в) Вычисление объема пространственной фигуры:

Фигура состоит из двух прямоугольных параллелепипедов.

Первый параллелепипед (нижний):

• Длина = 5
• Ширина = 2
• Высота = 1

Объем первого параллелепипеда \( V_1 = 5 \times 2 \times 1 = 10 \) куб. ед.

Второй параллелепипед (верхний):

• Длина = 2
• Ширина = 2
• Высота = 2

Объем второго параллелепипеда \( V_2 = 2 \times 2 \times 2 = 8 \) куб. ед.

Общий объем фигуры:

\( V = V_1 + V_2 = 10 + 8 = 18 \) куб. ед.

Ответ: 18