А1. Центр правильного треугольника АВС - точка О, его сторона равна 3. Отрезок ОМ - перпендикуляр к плоско- сти АВС, ОМ = 3. Найдите расстояние от точки М до вер- шин треугольника. 1) VII 2) √13 3) 2√3 4) 4 А2. Концы А и В отрезка АВ расположены по одну сторо- ну от плоскости с. Точка С є АВ И АС: СВ = 3 : 4. Точки А, В, С – проекции точек А, В, С на плоскость а. Най- дите С,С, если А,А = 3 см и ВВ = 17 см. 1) 9 см 2) 8 см 3) 10 см 4) 7 см АЗ. Четырехугольник ABCD - параллелограмм, АЕ и CF- перпендикуляры к плоскости ACD. Найдите угол между плоскостями ADE и CBF. 1) 30° 2) 0° 3) 60° 4) 45°

Решение задания А1

Давай разберем эту задачу вместе! У нас есть правильный треугольник ABC с центром в точке O и стороной, равной 3. Отрезок OM перпендикулярен плоскости ABC, и его длина равна 3. Наша цель - найти расстояние от точки M до вершин треугольника.

Сначала найдем AO, расстояние от центра правильного треугольника до его вершины. В правильном треугольнике центр (точка O) является также точкой пересечения медиан, биссектрис и высот. Известно, что медианы делятся в отношении 2:1, начиная от вершины.

Высоту правильного треугольника можно найти по формуле: \[h = \frac{a\sqrt{3}}{2}\], где a - сторона треугольника. В нашем случае a = 3, поэтому:

\[h = \frac{3\sqrt{3}}{2}\]

Тогда AO (2/3 от высоты):

\[AO = \frac{2}{3} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\]

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник AOM, где AO = \(\sqrt{3}\), OM = 3. Нам нужно найти AM (расстояние от точки M до вершины A).

По теореме Пифагора:

\[AM^2 = AO^2 + OM^2\] \[AM^2 = (\sqrt{3})^2 + 3^2\] \[AM^2 = 3 + 9\] \[AM^2 = 12\] \[AM = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\]

Таким образом, расстояние от точки M до вершины треугольника равно \(2\sqrt{3}\).

Ответ: 3) 2√3

Решение задания А2

Давай решим эту задачу вместе! У нас есть отрезок AB, концы которого (A и B) расположены по одну сторону от плоскости α. Точка C принадлежит отрезку AB, и дано отношение AC : CB = 3 : 4. A₁, B₁, C₁ - проекции точек A, B, C на плоскость α. Известно, что A₁A = 3 см и B₁B = 17 см. Наша задача - найти C₁C.

Пусть A₁A = a, B₁B = b, C₁C = x. Так как A₁, B₁, C₁ - проекции точек A, B, C на плоскость α, то отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ перпендикулярны плоскости α. Используем свойство пропорциональных отрезков:

\[\frac{AC}{CB} = \frac{A_1C_1}{C_1B_1}\]

Введем коэффициент пропорциональности k, тогда AC = 3k и CB = 4k. Следовательно, AB = AC + CB = 3k + 4k = 7k.

Теперь воспользуемся формулой для нахождения длины проекции отрезка, разделенного в данном отношении:

\[x = \frac{b \cdot AC + a \cdot CB}{AB}\]

Подставим известные значения: a = 3 см, b = 17 см, AC = 3k, CB = 4k, AB = 7k:

\[x = \frac{17 \cdot 3k + 3 \cdot 4k}{7k}\] \[x = \frac{51k + 12k}{7k}\] \[x = \frac{63k}{7k}\] \[x = 9\]

Значит, C₁C = 9 см.

Ответ: 1) 9 см

Решение задания А3

Четырехугольник ABCD - параллелограмм, а AE и CF - перпендикуляры к плоскости ACD. Наша задача - найти угол между плоскостями ADE и CBF.

Так как AE и CF перпендикулярны плоскости ACD, плоскости ADE и CBF также перпендикулярны плоскости ACD. В параллелограмме ABCD противоположные стороны параллельны: AB || CD и AD || BC.

Рассмотрим плоскости ADE и CBF. Угол между этими плоскостями будет равен углу между перпендикулярами AE и CF к плоскости ACD.

Поскольку ABCD - параллелограмм, а AE и CF - перпендикуляры к плоскости ACD, AE || CF. Следовательно, угол между плоскостями ADE и CBF равен углу между прямыми AE и CF, который равен 0°.

Ответ: 2) 0°

Ты сегодня отлично поработал! Решение задач - это как разгадывание интересного ребуса. Продолжай в том же духе, и у тебя всё обязательно получится!