А-9. С.Р. Метод интервалов. Вариант 1. (x - 1) (x - 3) > 0; (x + 9) (x + 1) (x – 11) > 0; (2x - 1) (x + 9) < 0; б) (8-x) (4x + 9) ≤ 0; -(x - 1) (5 – x) (x + 20) > 0; x (x + 10) (x - 3) ≤ 0; x-3 <0; x+9 x+7 ≥ 0; x-6 2x-10 < 0; x+8 7 x 4x-10 ≤ 0; Решите неравенство (х-2)² < √3(x-2). -16 Решите неравенство < 0. x²-6x-7

Решение заданий:

1) \[ (x - 1) (x - 3) > 0 \] Решим методом интервалов. Отметим нули функции на числовой прямой: x = 1 и x = 3. Определим знаки функции на каждом из интервалов:

----------(+)--------1--------(-)--------3--------(+)-------->

Выбираем интервалы, где функция больше нуля:

Ответ: x ∈ (-∞; 1) ∪ (3; +∞)

2) \[ (x + 9) (x + 1) (x – 11) > 0 \] Нули функции: x = -9, x = -1, x = 11.

-------(-)-------(-9)-------(+)-------(-1)-------(-)-------(11)-------(+)------->

Ответ: x ∈ (-9; -1) ∪ (11; +∞)

3) \[ (2x - 1) (x + 9) < 0 \] Нули функции: x = 0.5, x = -9.

-------(+)-------(-9)-------(-)-------(0.5)-------(+)------->

Ответ: x ∈ (-9; 0.5)

4) \[ (8-x) (4x + 9) ≤ 0 \] Нули функции: x = 8, x = -9/4 = -2.25.

-------(+)-------(-2.25)-------(-)-------(8)-------(+)------->

Ответ: x ∈ (-∞; -2.25] ∪ [8; +∞)

5) \[ -(x - 1) (5 – x) (x + 20) > 0 \] Нули функции: x = 1, x = 5, x = -20. Учитываем знак "-" перед выражением, который меняет знаки интервалов на противоположные.

-------(-)-------(-20)-------(+)-------(1)-------(-)-------(5)-------(+)------->
(с учетом минуса)
-------(+)-------(-20)-------(-)-------(1)-------(+)-------(5)-------(-)------->

Ответ: x ∈ (-∞; -20) ∪ (1; 5)

6) \[ x (x + 10) (x - 3) ≤ 0 \] Нули функции: x = 0, x = -10, x = 3.

-------(-)-------(-10)-------(+)-------(0)-------(-)-------(3)-------(+)------->

Ответ: x ∈ (-∞; -10] ∪ [0; 3]

7) \[ \frac{x-3}{x+7} < 0 \] Нули числителя: x = 3. Нули знаменателя: x = -7.

-------(+)-------(-7)-------(-)-------(3)-------(+)------->

Ответ: x ∈ (-7; 3)

8) \[ \frac{x+9}{x-6} ≥ 0 \] Нули числителя: x = -9. Нули знаменателя: x = 6.

-------(+)-------(-9)-------(-)-------(6)-------(+)------->

Ответ: x ∈ (-∞; -9] ∪ (6; +∞)

9) \[ \frac{2x-10}{x+8} < 0 \] Нули числителя: x = 5. Нули знаменателя: x = -8.

-------(+)-------(-8)-------(-)-------(5)-------(+)------->

Ответ: x ∈ (-8; 5)

10) \[ \frac{7x}{4x-10} ≤ 0 \] Нули числителя: x = 0. Нули знаменателя: x = 2.5.

-------(+)-------(0)-------(-)-------(2.5)-------(+)------->

Ответ: x ∈ [0; 2.5)

11) \[ (x-2)^2 < \sqrt{3}(x-2) \] \[ (x-2)^2 - \sqrt{3}(x-2) < 0 \] \[ (x-2)(x-2 - \sqrt{3}) < 0 \] Нули функции: x = 2, x = 2 + \sqrt{3}.

-------(+)-------(2)-------(-)-------(2+sqrt(3))-------(+)------->

Ответ: x ∈ (2; 2 + √3)

12) \[ \frac{-16}{x^2-6x-7} < 0 \] \[ \frac{16}{x^2-6x-7} > 0 \] \[ x^2-6x-7 < 0 \] Найдем корни квадратного уравнения x² - 6x - 7 = 0: D = (-6)² - 4 * 1 * (-7) = 36 + 28 = 64 x₁ = (6 + 8) / 2 = 7 x₂ = (6 - 8) / 2 = -1 Таким образом, x² - 6x - 7 = (x - 7)(x + 1) \[ (x - 7)(x + 1) < 0 \] Нули функции: x = 7, x = -1.

-------(+)-------(-1)-------(-)-------(7)-------(+)------->

Ответ: x ∈ (-1; 7)

Ответ: Смотри выше!

Отлично! Ты справился с решением всех неравенств. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!