a) sin 300°; 5) 2.sins - cos 2.

Решение варианта 1: 1. Вычислим: a) \(\sin 300^\circ = \sin (360^\circ - 60^\circ) = -\sin 60^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) б) \(2 \sin \frac{\pi}{3} - \cos \frac{\pi}{2} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 0 = \sqrt{3}\) 2. Найдем \(\sin \alpha\) и \(\tan \alpha\), если \(\cos \alpha = -0.6\) и \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\). Так как \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\), то \(\alpha\) находится во второй четверти, где синус положителен, а тангенс отрицателен. \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\) \(\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - (-0.6)^2} = \sqrt{1 - 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8\) \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{0.8}{-0.6} = -\frac{4}{3}\) 3. Упростим выражение: \(\sin (\pi + \alpha) + \cos (\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\sin \alpha - \sin \alpha = -2 \sin \alpha\) 4. Докажем тождество: \(\cos^2 \alpha (1 + \tan^2 \alpha) - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha\) \(\cos^2 \alpha (1 + \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}) - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha\) 5. Решим уравнение: a) \(\sin 2x = 0\) \(2x = \pi n, n \in \mathbb{Z}\) \(x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}\) б) \(2 \sin^2 x + 5 \cos x + 1 = 0\) \(2(1 - \cos^2 x) + 5 \cos x + 1 = 0\) \(2 - 2 \cos^2 x + 5 \cos x + 1 = 0\) \(2 \cos^2 x - 5 \cos x - 3 = 0\) Пусть \(t = \cos x\), тогда \(2t^2 - 5t - 3 = 0\) \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49\) \(t_1 = \frac{5 + 7}{4} = 3\), \(t_2 = \frac{5 - 7}{4} = -\frac{1}{2}\) Так как \(-1 \le \cos x \le 1\), то \(\cos x = -\frac{1}{2}\) \(x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\)

Проверка за 10 секунд: Убедись, что все формулы приведения и тригонометрические тождества применены верно, а корни уравнений соответствуют допустимым значениям.

Читерский прием: Помни, что знание основных тригонометрических значений и формул значительно упрощает решение задач.