а) Решите уравнение 7*62x+1-85*42x+42*49x = 0 б) Найдите корни, которые принадлежат промежутку [−1/3;√3]

Решим данное уравнение:

а) $$7 \cdot 6^{2x+1} - 85 \cdot 42^x + 42 \cdot 49^x = 0$$

$$7 \cdot 6 \cdot 6^{2x} - 85 \cdot 42^x + 42 \cdot 49^x = 0$$

$$42 \cdot 36^x - 85 \cdot 42^x + 42 \cdot 49^x = 0$$

Разделим обе части уравнения на $$42^x$$:

$$42 \cdot \frac{36^x}{42^x} - 85 \cdot \frac{42^x}{42^x} + 42 \cdot \frac{49^x}{42^x} = 0$$

$$42 \cdot (\frac{36}{42})^x - 85 + 42 \cdot (\frac{49}{42})^x = 0$$

$$42 \cdot (\frac{6}{7})^{x} - 85 + 42 \cdot (\frac{7}{6})^x = 0$$

Пусть $$(\frac{6}{7})^x = t$$, тогда $$(\frac{7}{6})^x = \frac{1}{t}$$.

$$42t - 85 + \frac{42}{t} = 0$$

Умножим обе части уравнения на t:

$$42t^2 - 85t + 42 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-85)^2 - 4 \cdot 42 \cdot 42 = 7225 - 7056 = 169$$

$$t_1 = \frac{85 + \sqrt{169}}{2 \cdot 42} = \frac{85 + 13}{84} = \frac{98}{84} = \frac{7}{6}$$

$$t_2 = \frac{85 - \sqrt{169}}{2 \cdot 42} = \frac{85 - 13}{84} = \frac{72}{84} = \frac{6}{7}$$

Возвращаемся к замене:

1) $$(\frac{6}{7})^x = \frac{7}{6}$$

$$(\frac{6}{7})^x = (\frac{6}{7})^{-1}$$

$$x_1 = -1$$

2) $$(\frac{6}{7})^x = \frac{6}{7}$$

$$(\frac{6}{7})^x = (\frac{6}{7})^{1}$$

$$x_2 = 1$$

б) Необходимо найти корни, принадлежащие промежутку $$[ -\frac{1}{3}; \sqrt{3}]$$

Проверим корни:

1) $$x_1 = -1$$. $$ -1
otin [ -\frac{1}{3}; \sqrt{3}]$$

2) $$x_2 = 1$$. $$ 1 \in [ -\frac{1}{3}; \sqrt{3}]$$

Ответ: а) -1; 1, б) 1