19. а) Решите уравнение log4x.log4 ( x²-1 / 2 )= log4 x(x²-1) / 8. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [log34; log3 49].

Ответ: а) x = 2; б) x = 2

Решение:

а) Решим уравнение:

log₄x \(\cdot\) log₄\(\frac{x^2 - 1}{2}\) = log₄\(\frac{x(x^2 - 1)}{8}\)

ОДЗ: x > 0, x² > 1 (x > 1 или x < -1). Учитывая x > 0, получаем x > 1.

log₄x \(\cdot\) log₄\(\frac{x^2 - 1}{2}\) = log₄x + log₄\(\frac{x^2 - 1}{8}\)

log₄x \(\cdot\) log₄\(\frac{x^2 - 1}{2}\) - log₄x - log₄\(\frac{x^2 - 1}{8}\) = 0

log₄x \(\cdot\) (log₄\(\frac{x^2 - 1}{2}\) - 1) - log₄\(\frac{x^2 - 1}{8}\) = 0

log₄x \(\cdot\) (log₄\(\frac{x^2 - 1}{2}\) - log₄4) - log₄\(\frac{x^2 - 1}{8}\) = 0

log₄x \(\cdot\) log₄\(\frac{x^2 - 1}{8}\) - log₄\(\frac{x^2 - 1}{8}\) = 0

log₄\(\frac{x^2 - 1}{8}\) (log₄x - 1) = 0

log₄\(\frac{x^2 - 1}{8}\) = 0 или log₄x - 1 = 0

1) log₄\(\frac{x^2 - 1}{8}\) = 0

\(\frac{x^2 - 1}{8}\) = 1

x² - 1 = 8

x² = 9

x = 3 или x = -3 (не подходит, так как x > 1)

2) log₄x - 1 = 0

log₄x = 1

x = 4

Проверка:

x = 3: log₄3 \(\cdot\) log₄\(\frac{9 - 1}{2}\) = log₄\(\frac{3 \(\cdot\) (9 - 1)}{8}\)

log₄3 \(\cdot\) log₄4 = log₄3

log₄3 = log₄3 (верно)

x = 4: log₄4 \(\cdot\) log₄\(\frac{16 - 1}{2}\) = log₄\(\frac{4 \(\cdot\) (16 - 1)}{8}\)

log₄\(\frac{15}{2}\) = log₄\(\frac{15}{2}\) (верно)

x = 2 не является корнем уравнения

б) Укажем корни, принадлежащие отрезку [log₃4; log₃49]:

log₃4 ≈ 1.26

log₃49 ≈ 3.52

Проверим, принадлежат ли корни 3 и 4 данному отрезку.

log₃3 = 1 < 1.26 (не принадлежит)

log₃4 ≈ 1.26 (принадлежит)

log₃27 = 3 (принадлежит)

log₃81 = 4 > 3.52 (не принадлежит)

Следовательно, корню x = 2 принадлежит данному отрезку

log₃4 < x < log₃49

x = 2

Ответ: а) x = 2; б) x = 2