a) Решите уравнение 2cos2x + 4√3 cosx - 7 = 0.

Решение:

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: \( \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 \).

1. Подставим формулу в уравнение: \( 2(2\cos^2 x - 1) + 4\sqrt{3}\cos x - 7 = 0 \)
2. Раскроем скобки и приведём подобные члены: \( 4\cos^2 x - 2 + 4\sqrt{3}\cos x - 7 = 0 \)
3. Получим квадратное уравнение относительно \( \cos x \): \( 4\cos^2 x + 4\sqrt{3}\cos x - 9 = 0 \)
4. Пусть \( y = \cos x \). Тогда уравнение примет вид: \( 4y^2 + 4\sqrt{3}y - 9 = 0 \)
5. Найдем дискриминант: \( D = (4\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-9) = 16 \cdot 3 + 144 = 48 + 144 = 192 \)
6. Вычислим \( \sqrt{D} \): \( \sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3} \)
7. Найдем корни: \( y_1 = \frac{-4\sqrt{3} + 8\sqrt{3}}{2 \cdot 4} = \frac{4\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
8. \( y_2 = \frac{-4\sqrt{3} - 8\sqrt{3}}{2 \cdot 4} = \frac{-12\sqrt{3}}{8} = -\frac{3\sqrt{3}}{2} \)
9. Так как \( y = \cos x \), то \( \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \) или \( \cos x = -\frac{3\sqrt{3}}{2} \).
10. Второе значение \( -\frac{3\sqrt{3}}{2} \) не имеет решений, так как \( \cos x \) не может быть меньше -1.
11. Решим уравнение \( \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Основные решения: \( x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k \), \( k \in \mathbb{Z} \).