а) Решите уравнение 2cos²x - √3cosx-3=0. б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [7; 11].

Решение:

а) Решение уравнения

Пусть \( y = \cos x \). Тогда уравнение принимает вид:

\[ 2y^2 - \sqrt{3}y - 3 = 0 \]

Это квадратное уравнение относительно \( y \). Найдём дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 3 + 24 = 27 \]

Найдём корни \( y \):

\[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{27}}{4} = \frac{\sqrt{3} \pm 3\sqrt{3}}{4} \]

Получаем два значения для \( y \):

\[ y_1 = \frac{\sqrt{3} + 3\sqrt{3}}{4} = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3} \]\[ y_2 = \frac{\sqrt{3} - 3\sqrt{3}}{4} = \frac{-2\sqrt{3}}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \]

Так как \( y = \cos x \), и значение косинуса не может быть больше 1 или меньше -1, то \( y_1 = \sqrt{3} \approx 1.732 \) не подходит.

Рассматриваем \( y_2 = -\frac{\sqrt{3}}{2} \).

\( \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)

Корнями этого уравнения являются:

\[ x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

б) Нахождение корней на отрезке [7; 11]

Рассмотрим два случая:

1. \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \)

Подставим \( \pi \approx 3.14159 \):

\[ \frac{5 \cdot 3.14159}{6} + 2 \cdot 3.14159 k = 2.61799 + 6.28318 k \]

Для \( k=0 \): \( x \approx 2.618 \) (не входит в отрезок [7; 11])

Для \( k=1 \): \( x \approx 2.618 + 6.283 = 8.901 \) (входит в отрезок [7; 11])

Для \( k=2 \): \( x \approx 2.618 + 12.566 = 15.184 \) (не входит в отрезок [7; 11])

2. \( x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k \)

Подставим \( \pi \approx 3.14159 \):

\[ -\frac{5 \cdot 3.14159}{6} + 2 \cdot 3.14159 k = -2.61799 + 6.28318 k \]

Для \( k=1 \): \( x \approx -2.618 + 6.283 = 3.665 \) (не входит в отрезок [7; 11])

Для \( k=2 \): \( x \approx -2.618 + 12.566 = 9.948 \) (входит в отрезок [7; 11])

Для \( k=3 \): \( x \approx -2.618 + 18.850 = 16.232 \) (не входит в отрезок [7; 11])

Таким образом, на отрезке [7; 11] находятся два корня: \( x_1 = \frac{5\pi}{6} + 2\pi \) и \( x_2 = -\frac{5\pi}{6} + 4\pi \).

Если использовать более точное значение \( \pi \approx 3.14159265 \):

\( x_1 = \frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{17\pi}{6} \approx \frac{17 \times 3.14159265}{6} \approx 8.90117 \)

\( x_2 = -\frac{5\pi}{6} + 4\pi = \frac{19\pi}{6} \approx \frac{19 \times 3.14159265}{6} \approx 9.94837 \)

Оба корня принадлежат отрезку [7; 11].

Ответ: а) \( x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \) б) \( \frac{17\pi}{6}, \frac{19\pi}{6} \)