а) Решите уравнение 10^sinx = 2^sinx * 5^-cosx б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-5π/2; -π].

Привет! Давай разберемся с этим уравнением по шагам.

а) Решение уравнения

У нас есть уравнение: 10^{sin x} = 2^{sin x} ⋅ 5^{-cos x}

Сначала преобразуем основание 10:

10^{sin x} = (2 ⋅ 5)^{sin x} = 2^{sin x} ⋅ 5^{sin x}

Теперь подставим это обратно в исходное уравнение:

2^{sin x} ⋅ 5^{sin x} = 2^{sin x} ⋅ 5^{-cos x}

Мы можем разделить обе части уравнения на 2^{sin x} (так как 2^{sin x} всегда больше нуля, это допустимое действие):

5^{sin x} = 5^{-cos x}

Если основания степеней равны, то и показатели степени тоже равны:

sin x = -cos x

Теперь, чтобы решить это тригонометрическое уравнение, поделим обе части на cos x. Но сначала убедимся, что cos x не равен нулю. Если бы cos x = 0, то x = π/2 + πk. В этом случае sin x = ±1. Подставим в sin x = -cos x: ±1 = -0, что неверно. Значит, cos x ≠ 0.

Делим на cos x:

sin x / cos x = -1

tg x = -1

Это значит, что x = -π/4 + πn, где n – любое целое число.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-5π/2; -π]

Нам нужно найти значения 'n', при которых x = -π/4 + πn попадает в отрезок [-5π/2; -π].

Подставим -5π/2 и -π в наше уравнение:

-5π/2 ≤ -π/4 + πn ≤ -π

Теперь решим это двойное неравенство:

1. Левая часть:
• -5π/2 ≤ -π/4 + πn
• -5π/2 + π/4 ≤ πn
• -10π/4 + π/4 ≤ πn
• -9π/4 ≤ πn
• Делим на π: -9/4 ≤ n
• -2.25 ≤ n
2. Правая часть:
• -π/4 + πn ≤ -π
• πn ≤ -π + π/4
• πn ≤ -4π/4 + π/4
• πn ≤ -3π/4
• Делим на π: n ≤ -3/4
• n ≤ -0.75

Итак, мы получили, что -2.25 ≤ n ≤ -0.75. Поскольку 'n' должно быть целым числом, подходят только значения n = -1 и n = -2.

Теперь найдем соответствующие значения x:

• При n = -1: x = -π/4 + π(-1) = -π/4 - π = -5π/4
• При n = -2: x = -π/4 + π(-2) = -π/4 - 2π = -9π/4

Проверим, попадают ли эти корни в заданный отрезок:

• -5π/4 находится между -10π/4 (-2.5π) и -4π/4 (-π). Да, попадает.
• -9π/4 находится между -10π/4 (-2.5π) и -4π/4 (-π). Да, попадает.

Ответ:

а) x = -π/4 + πn, где n ∈ Z

б) Корни, принадлежащие отрезку [-5π/2; -π]: -5π/4 и -9π/4