А1. Разложите на множители квадратный трехчлен: a) 2x² +14x+24; г) 25x²-10x+1; 2 ж) - 5x² +3x-2. 6)-x² +8x+9; д) 7x² +9x+2; 2 в) 3x² +7x-6 e) 2x²-x-1;

Решение:

а) \(2x^2 + 14x + 24\) Логика такая: 1. Вынесем общий множитель 2 за скобки: \[2(x^2 + 7x + 12)\] 2. Найдем корни квадратного уравнения \(x^2 + 7x + 12 = 0\): \[D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1\] \[x_1 = \frac{-7 + \sqrt{1}}{2} = \frac{-7 + 1}{2} = -3\] \[x_2 = \frac{-7 - \sqrt{1}}{2} = \frac{-7 - 1}{2} = -4\] 3. Разложим на множители: \[2(x + 3)(x + 4)\] б) \(-x^2 + 8x + 9\) Разбираемся: 1. Вынесем минус за скобки: \[-(x^2 - 8x - 9)\] 2. Найдем корни квадратного уравнения \(x^2 - 8x - 9 = 0\): \[D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100\] \[x_1 = \frac{8 + \sqrt{100}}{2} = \frac{8 + 10}{2} = 9\] \[x_2 = \frac{8 - \sqrt{100}}{2} = \frac{8 - 10}{2} = -1\] 3. Разложим на множители: \[-(x - 9)(x + 1)\] в) \(3x^2 + 7x - 6\) Смотри, тут всё просто: 1. Найдем корни квадратного уравнения \(3x^2 + 7x - 6 = 0\): \[D = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121\] \[x_1 = \frac{-7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{-7 + 11}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\] \[x_2 = \frac{-7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{-7 - 11}{6} = \frac{-18}{6} = -3\] 2. Разложим на множители: \[3(x - \frac{2}{3})(x + 3) = (3x - 2)(x + 3)\] г) \(25x^2 - 10x + 1\) Поехали! 1. Найдем корни квадратного уравнения \(25x^2 - 10x + 1 = 0\): \[D = (-10)^2 - 4 \cdot 25 \cdot 1 = 100 - 100 = 0\] \[x = \frac{10}{2 \cdot 25} = \frac{10}{50} = \frac{1}{5}\] 2. Разложим на множители: \[25(x - \frac{1}{5})^2 = (5x - 1)^2\] д) \(7x^2 + 9x + 2\) Легкотня! 1. Найдем корни квадратного уравнения \(7x^2 + 9x + 2 = 0\): \[D = 9^2 - 4 \cdot 7 \cdot 2 = 81 - 56 = 25\] \[x_1 = \frac{-9 + \sqrt{25}}{2 \cdot 7} = \frac{-9 + 5}{14} = \frac{-4}{14} = -\frac{2}{7}\] \[x_2 = \frac{-9 - \sqrt{25}}{2 \cdot 7} = \frac{-9 - 5}{14} = \frac{-14}{14} = -1\] 2. Разложим на множители: \[7(x + \frac{2}{7})(x + 1) = (7x + 2)(x + 1)\] е) \(2x^2 - x - 1\) Проще простого! 1. Найдем корни квадратного уравнения \(2x^2 - x - 1 = 0\): \[D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9\] \[x_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 3}{4} = \frac{4}{4} = 1\] \[x_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 3}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}\] 2. Разложим на множители: \[2(x - 1)(x + \frac{1}{2}) = (x - 1)(2x + 1)\] ж) \(-5x^2 + 3x - 2\) Сейчас сделаем! 1. Вынесем минус за скобки: \[-(5x^2 - 3x + 2)\] 2. Найдем корни квадратного уравнения \(5x^2 - 3x + 2 = 0\): \[D = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 9 - 40 = -31\] Так как дискриминант отрицательный, квадратное уравнение не имеет действительных корней, и трехчлен нельзя разложить на множители с действительными коэффициентами. Ответ: \[-(5x^2 - 3x + 2)\]

Проверка за 10 секунд: Убедись, что после разложения на множители, при обратном раскрытии скобок, ты получишь исходный квадратный трехчлен.

Уровень Эксперт: Разложение квадратного трехчлена на множители часто используется для упрощения выражений и решения уравнений. Запомни этот прием!