а) Первый автомобиль проезжает расстояние, равное 300 км, на 1 ч быстрее, чем второй. Найдите скорость каждого автомобиля, если скорость первого автомобиля на 10 км/ч больше скорости второго. б) Диагональ прямоугольника на 6 см больше одной из сторон и на 3 см больше другой. Найдите стороны прямоугольника.

а) Пусть скорость второго автомобиля равна \(v\) км/ч, тогда скорость первого — \(v+10\) км/ч. Время движения автомобилей:

\[\frac{300}{v}-\frac{300}{v+10}=1.\]

Умножим на \(v(v+10)\):

\[300(v+10)-300v=v(v+10),\]

\[3000=v^2+10v,\]

\[v^2+10v-3000=0.\]

\[D=10^2+4\cdot3000=12100,\quad \sqrt D=110.\]

\[v=\frac{-10+110}{2}=50\quad\text{или}\quad v=\frac{-10-110}{2}=-60.\]

Отрицательное значение не подходит. Скорость второго автомобиля — \(50\) км/ч, скорость первого: \(50+10=60\) км/ч.

Ответ: первый автомобиль — 60 км/ч, второй — 50 км/ч.

б) Пусть стороны прямоугольника равны \(x\) см и \(y\) см, а диагональ — \(d\) см. По условию \(d=x+6\) и \(d=y+3\), поэтому \(y=x+3\). По теореме Пифагора:

\[x^2+(x+3)^2=(x+6)^2.\]

\[x^2+x^2+6x+9=x^2+12x+36,\]

\[x^2-6x-27=0.\]

\[x=\frac{6\pm\sqrt{36+108}}{2}=\frac{6\pm12}{2}.\]

Положительное значение: \(x=9\) см. Тогда \(y=9+3=12\) см, а диагональ \(d=9+6=15\) см. Проверка: \(9^2+12^2=81+144=225=15^2\).

Ответ: стороны прямоугольника — 9 см и 12 см.