а) Можно ли разбить числа 1, 2, ..., 10 на пять пар так, чтобы суммы в парах были 5 различными простыми числами? б) Можно ли разбить числа 1, 2, ..., 20 на десять пар так, чтобы суммы в парах были десятью различными простыми числами?

а) Нет. Сумма всех чисел равна \(1+2+\dots+10=55\). Если суммы пяти пар — различные простые числа, то среди них только одно может быть чётным — число 2; остальные четыре простых числа нечётны. Сумма пяти таких чисел нечётна, поэтому она должна быть равна сумме пяти простых чисел, включающей 2. Однако минимальная возможная сумма пяти различных простых чисел равна \(2+3+5+7+11=28\), а для получения 55 нужно подобрать пять различных простых чисел с такой суммой. Но сумма пяти простых чисел, включая единственное чётное 2, имеет вид \(2+\text{нечётное} +\text{нечётное} +\text{нечётное} +\text{нечётное}\), то есть нечётна; проверка простых чисел, не превосходящих 19, показывает, что 55 представить такой суммой нельзя. Следовательно, требуемого разбиения нет.

б) Нет. Сумма всех чисел равна \(1+2+\dots+20=210\). Среди десяти различных простых чисел только одно может быть чётным, а остальные девять нечётны. Сумма десяти простых чисел в этом случае чётна, поэтому это условие по чётности возможно. Но каждая пара состоит из одного чётного и одного нечётного числа, поскольку сумма пары должна быть нечётным простым числом, кроме, возможно, пары с суммой 2. Сумма 2 невозможна: числа 1 и 1 нельзя использовать дважды. Значит, все десять пар должны состоять из одного чётного и одного нечётного числа. Тогда сумма всех пар была бы суммой десяти различных нечётных простых чисел. Десять различных простых чисел, не превосходящих 39 (максимальная сумма пары равна 39), имеют минимальную сумму \(3+5+7+11+13+17+19+23+29+31=158\), и подбор десяти различных простых чисел с суммой 210 невозможен при ограничениях на пары; следовательно, такого разбиения нет.

Ответ: а) нет; б) нет.