297. а) Моторная лодка прошла против течения реки 72 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч. 6) Моторная лодка прошла против течения реки 77 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч. 298. а) Баржа прошла по течению реки 45 км и, повернув обратно, прошла ещё 42 км, затра- тив на весь путь 6 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 3 км/ч. 6) Баржа прошла по течению реки 40 км и, повернув обратно, прошла ещё 36 км, затра- тив на весь путь 5 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки

297. а) Пусть x - скорость лодки в стоячей воде.

Тогда скорость лодки против течения x-3, а по течению x+3.

Время, затраченное на путь против течения, равно $$ \frac{72}{x-3} $$, а время на обратный путь $$ \frac{72}{x+3} $$.

Из условия задачи известно, что время на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Составим уравнение:

$$\frac{72}{x-3} - \frac{72}{x+3} = 2$$

Умножим обе части уравнения на $$(x-3)(x+3)$$

$$72(x+3) - 72(x-3) = 2(x^2 - 9)$$ $$72x + 216 - 72x + 216 = 2x^2 - 18$$ $$432 = 2x^2 - 18$$ $$2x^2 = 450$$ $$x^2 = 225$$ $$x = \pm 15$$

Так как скорость не может быть отрицательной, то x = 15 км/ч.

Ответ: 15 км/ч

б) Пусть x - скорость лодки в неподвижной воде.

Тогда скорость лодки против течения x-4, а по течению x+4.

Время, затраченное на путь против течения, равно $$ \frac{77}{x-4} $$, а время на обратный путь $$ \frac{77}{x+4} $$.

Из условия задачи известно, что время на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Составим уравнение:

$$\frac{77}{x-4} - \frac{77}{x+4} = 2$$

Умножим обе части уравнения на $$(x-4)(x+4)$$

$$77(x+4) - 77(x-4) = 2(x^2 - 16)$$ $$77x + 308 - 77x + 308 = 2x^2 - 32$$ $$616 = 2x^2 - 32$$ $$2x^2 = 648$$ $$x^2 = 324$$ $$x = \pm 18$$

Так как скорость не может быть отрицательной, то x = 18 км/ч.

Ответ: 18 км/ч

298. а) Пусть x - собственная скорость баржи.

Тогда скорость баржи по течению x+3, а против течения x-3.

Время, затраченное на путь по течению, равно $$ \frac{45}{x+3} $$, а время на обратный путь $$ \frac{42}{x-3} $$.

Из условия задачи известно, что на весь путь затрачено 6 часов. Составим уравнение:

$$\frac{45}{x+3} + \frac{42}{x-3} = 6$$

Умножим обе части уравнения на $$(x+3)(x-3)$$

$$45(x-3) + 42(x+3) = 6(x^2 - 9)$$ $$45x - 135 + 42x + 126 = 6x^2 - 54$$ $$87x - 9 = 6x^2 - 54$$ $$6x^2 - 87x - 45 = 0$$ $$2x^2 - 29x - 15 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-29)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 841 + 120 = 961$$ $$x_1 = \frac{29 + \sqrt{961}}{4} = \frac{29 + 31}{4} = \frac{60}{4} = 15$$ $$x_2 = \frac{29 - \sqrt{961}}{4} = \frac{29 - 31}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$$

Так как скорость не может быть отрицательной, то x = 15 км/ч.

Ответ: 15 км/ч

б) Пусть x - собственная скорость баржи.

Тогда скорость баржи по течению x+3, а против течения x-3.

Время, затраченное на путь по течению, равно $$ \frac{40}{x+3} $$, а время на обратный путь $$ \frac{36}{x-3} $$.

Из условия задачи известно, что на весь путь затрачено 5 часов. Составим уравнение:

$$\frac{40}{x+3} + \frac{36}{x-3} = 5$$

Умножим обе части уравнения на $$(x+3)(x-3)$$

$$40(x-3) + 36(x+3) = 5(x^2 - 9)$$ $$40x - 120 + 36x + 108 = 5x^2 - 45$$ $$76x - 12 = 5x^2 - 45$$ $$5x^2 - 76x - 33 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-76)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-33) = 5776 + 660 = 6436$$ $$x_1 = \frac{76 + \sqrt{6436}}{10} = \frac{76 + 80.22}{10} = 15.62$$ $$x_2 = \frac{76 - \sqrt{6436}}{10} = \frac{76 - 80.22}{10} = -0.42$$

Так как скорость не может быть отрицательной, то x = 15.62 км/ч.

Ответ: 15.62 км/ч