a) log_{\(\frac{1}{2}\)} (5+2x) = 1

Решение:

Чтобы решить логарифмическое уравнение, нужно вспомнить определение логарифма: \( \log_a b = c \) означает \( a^c = b \).

1. В данном уравнении основание логарифма \( a = \frac{1}{2} \), значение логарифма \( c = 1 \), а подлогарифмическое выражение \( b = 5+2x \).
2. Применим определение логарифма к нашему уравнению: \[ \left( \frac{1}{2} \right)^1 = 5+2x \]
3. Упростим уравнение: \[ \frac{1}{2} = 5+2x \]
4. Теперь решим полученное линейное уравнение. Перенесём 5 в левую часть: \[ \frac{1}{2} - 5 = 2x \]
5. Приведём к общему знаменателю: \[ \frac{1}{2} - \frac{10}{2} = 2x \] \[ \frac{1-10}{2} = 2x \] \[ \frac{-9}{2} = 2x \]
6. Разделим обе части на 2: \[ x = \frac{-9}{2 \cdot 2} \] \[ x = \frac{-9}{4} \]
7. Проверим ОДЗ (область допустимых значений): подлогарифмическое выражение должно быть больше нуля. \( 5+2x > 0 \). Подставим найденное значение \( x = -\frac{9}{4} \): \( 5 + 2 \cdot \left(-\frac{9}{4} \right) = 5 - \frac{18}{4} = 5 - \frac{9}{2} = \frac{10-9}{2} = \frac{1}{2} \). Так как \( \frac{1}{2} > 0 \), то \( x = -\frac{9}{4} \) является решением.

Ответ: x = -\(\frac{9}{4}\).