012.3. a) log₀.₁(x² + 4x - 20) = 0; 6) log₁/₃ (x² - 10x + 10) = 0; B) log₇ (x² - 12x + 36) = 0; r) log₁₂ (x² - 8x + 16) = 0.

а) log₀.₁(x² + 4x - 20) = 0

Логика такая: если логарифм равен нулю, то аргумент логарифма равен единице. Решаем уравнение:

\[x^2 + 4x - 20 = 0.1^0\] \[x^2 + 4x - 20 = 1\] \[x^2 + 4x - 21 = 0\]

Находим дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100\]

Вычисляем корни:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 10}{2} = \frac{6}{2} = 3\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 10}{2} = \frac{-14}{2} = -7\]

Ответ: x₁ = 3, x₂ = -7

б) log₁/₃ (x² - 10x + 10) = 0

Смотри, тут всё просто: если логарифм равен нулю, то аргумент логарифма равен единице. Решаем уравнение:

\[x^2 - 10x + 10 = (\frac{1}{3})^0\] \[x^2 - 10x + 10 = 1\] \[x^2 - 10x + 9 = 0\]

Находим дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 - 36 = 64\]

Вычисляем корни:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 8}{2} = \frac{18}{2} = 9\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 8}{2} = \frac{2}{2} = 1\]

Ответ: x₁ = 9, x₂ = 1

в) log₇(x² - 12x + 36) = 0

Разбираемся: если логарифм равен нулю, то аргумент логарифма равен единице. Решаем уравнение:

\[x^2 - 12x + 36 = 7^0\] \[x^2 - 12x + 36 = 1\] \[x^2 - 12x + 35 = 0\]

Находим дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 35 = 144 - 140 = 4\]

Вычисляем корни:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{12 + 2}{2} = \frac{14}{2} = 7\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{12 - 2}{2} = \frac{10}{2} = 5\]

Ответ: x₁ = 7, x₂ = 5

г) log₁₂(x² - 8x + 16) = 0

Логика такая: если логарифм равен нулю, то аргумент логарифма равен единице. Решаем уравнение:

\[x^2 - 8x + 16 = 12^0\] \[x^2 - 8x + 16 = 1\] \[x^2 - 8x + 15 = 0\]

Находим дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4\]

Вычисляем корни:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 2}{2} = \frac{10}{2} = 5\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 2}{2} = \frac{6}{2} = 3\]

Ответ: x₁ = 5, x₂ = 3

Проверка за 10 секунд: Подставьте найденные корни в исходные уравнения, чтобы убедиться, что аргумент логарифма положителен.

Запомни: Чтобы решить логарифмическое уравнение вида logₐ(f(x)) = 0, нужно решить уравнение f(x) = 1.