А-10 Контрольная работа №5 Вариант 2 1. Вычислить 5π 3 (a) sin 150°;.6)cos; B) √2 sin45° - cos 30°sin 60° +c tg 45º tg135° - tg0° π π г) sin-+√2 cos-√3 ctg 3 4 2. Упростить выражение (1-sin)(1+sinß) a) cosẞ π 6 .6) sin (π + β) + cos (2π + β) - sin (-β) - cos (-β) 5 3. Вычислить sin a, cos 2а, если cosa = И 13 π 0<a< 2 •4. Упростить выражение sin(α-β)+sin ẞ cos a tq •5. Доказать тождество sin 2a+cos(-a)-sin(n+a) = -2 sin a 1+sin(-a) 6. Решить уравнение sin 3x cosx = cos 3x sinx - 1

1. Вычислить

1. а) \(\sin 150^\circ\); б) \(\cos \frac{5\pi}{3}\);

   а) \(\sin 150^\circ = \sin (180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}\)

   б) \(\cos \frac{5\pi}{3} = \cos (2\pi - \frac{\pi}{3}) = \cos (-\frac{\pi}{3}) = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\)

2. в) \(\sqrt{2} \sin 45^\circ - \cos 30^\circ \sin 60^\circ + \operatorname{ctg} 45^\circ \operatorname{tg} 135^\circ - \operatorname{tg} 0^\circ\)

   \(\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \cdot (-1) - 0 = 1 - \frac{3}{4} - 1 = -\frac{3}{4}\)

3. г) \(\sin \frac{\pi}{3} + \sqrt{2} \cos \frac{\pi}{4} - \sqrt{3} \operatorname{ctg} \frac{\pi}{6}\)

   \(\frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 - 3 = \frac{\sqrt{3}}{2} - 2\)

2. Упростить выражение

1. а) \(\frac{(1 - \sin \beta)(1 + \sin \beta)}{\cos \beta} = \frac{1 - \sin^2 \beta}{\cos \beta} = \frac{\cos^2 \beta}{\cos \beta} = \cos \beta\)

2. б) \(\sin (\pi + \beta) + \cos (2\pi + \beta) - \sin(-\beta) - \cos(-\beta) = -\sin \beta + \cos \beta + \sin \beta - \cos \beta = 0\)

3. Вычислить \(\sin \alpha\), \(\cos 2\alpha\), если \(\cos \alpha = \frac{5}{13}\) и \(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\).

Т.к. \(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\), то \(\sin \alpha > 0\).

\(\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}\)

\(\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \frac{25}{169} - \frac{144}{169} = -\frac{119}{169}\)

4. Упростить выражение \(\frac{\sin(\alpha - \beta) + \sin \beta \cos \alpha}{\operatorname{tg} \alpha}\)

\(\frac{\sin(\alpha - \beta) + \sin \beta \cos \alpha}{\operatorname{tg} \alpha} = \frac{\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta + \sin \beta \cos \alpha}{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}} = \frac{\sin \alpha \cos \beta}{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}} = \cos \alpha \cos \beta\)

5. Доказать тождество \(\frac{2 \sin 2\alpha + \cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) - \sin(\pi + \alpha)}{1 + \sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha)} = -2 \sin \alpha\)

\(\frac{2 \sin 2\alpha + \cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) - \sin(\pi + \alpha)}{1 + \sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha)} = \frac{2 \sin 2\alpha - \sin \alpha + \sin \alpha}{1 - \cos \alpha} = \frac{2 \sin 2\alpha}{1 - \cos \alpha} = \frac{4 \sin \alpha \cos \alpha}{1 - \cos \alpha}\)

Тождество неверно.

6. Решить уравнение \(\sin 3x \cos x = \cos 3x \sin x - 1\)

\(\sin 3x \cos x - \cos 3x \sin x = -1\)

\(\sin (3x - x) = -1\)

\(\sin 2x = -1\)

\(2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\)

\(x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\)

Result Card

Математический Гений

Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс

Стань легендой класса: поделись решением с теми, кто в танке