Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
А-8, К-«Квадратные уравнения», В-4. 1°. Решите уравнение: a) 9x² - 7x - 2 = 0; б) 4x² - x = 0; в) 5x² = 45; г) х² + 18х - 63 = 0. 2. Периметр прямоугольника равен 22 см, а его площадь 24 см². Найдите длины сторон прямоугольника. 3. Один из корней уравнения х² - 7x + q = 0 равен 13. Найдите другой корень и свободный член q.
Ответ:
Привет! Давай решим эти уравнения и задачи. Будем работать внимательно и шаг за шагом, и у нас всё получится!
1. Решите уравнение:
a) 9x² - 7x - 2 = 0
Решим квадратное уравнение через дискриминант:
\(D = b^2 - 4ac\)
\(D = (-7)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-2) = 49 + 72 = 121\)
\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 9} = \frac{7 + 11}{18} = \frac{18}{18} = 1\)
\(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 9} = \frac{7 - 11}{18} = \frac{-4}{18} = -\frac{2}{9}\)
Ответ: \(x_1 = 1, x_2 = -\frac{2}{9}\)
б) 4x² - x = 0
Вынесем x за скобки:
\(x(4x - 1) = 0\)
Значит, либо \(x = 0\), либо \(4x - 1 = 0\)
\(4x = 1\)
\(x = \frac{1}{4}\)
Ответ: \(x_1 = 0, x_2 = \frac{1}{4}\)
в) 5x² = 45
Разделим обе части на 5:
\(x^2 = 9\)
\(x = \pm \sqrt{9}\)
\(x = \pm 3\)
Ответ: \(x_1 = 3, x_2 = -3\)
г) x² + 18x - 63 = 0
Решим квадратное уравнение через дискриминант:
\(D = b^2 - 4ac\)
\(D = (18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-63) = 324 + 252 = 576\)
\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-18 + \sqrt{576}}{2 \cdot 1} = \frac{-18 + 24}{2} = \frac{6}{2} = 3\)
\(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-18 - \sqrt{576}}{2 \cdot 1} = \frac{-18 - 24}{2} = \frac{-42}{2} = -21\)
Ответ: \(x_1 = 3, x_2 = -21\)
2. Периметр прямоугольника равен 22 см, а его площадь 24 см². Найдите длины сторон прямоугольника.
Пусть a и b - длины сторон прямоугольника.
Периметр: \(2(a + b) = 22\)
Площадь: \(a \cdot b = 24\)
Выразим a через b из первого уравнения:
\(a + b = 11\)
\(a = 11 - b\)
Подставим во второе уравнение:
\((11 - b) \cdot b = 24\)
\(11b - b^2 = 24\)
\(b^2 - 11b + 24 = 0\)
Решим квадратное уравнение через дискриминант:
\(D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 121 - 96 = 25\)
\(b_1 = \frac{-(-11) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{11 + 5}{2} = \frac{16}{2} = 8\)
\(b_2 = \frac{-(-11) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{11 - 5}{2} = \frac{6}{2} = 3\)
Если \(b = 8\), то \(a = 11 - 8 = 3\)
Если \(b = 3\), то \(a = 11 - 3 = 8\)
Ответ: Длины сторон прямоугольника: 3 см и 8 см.
3. Один из корней уравнения x² - 7x + q = 0 равен 13. Найдите другой корень и свободный член q.
Пусть \(x_1 = 13\) - один из корней уравнения. Подставим его в уравнение:
\(13^2 - 7 \cdot 13 + q = 0\)
\(169 - 91 + q = 0\)
\(78 + q = 0\)
\(q = -78\)
Теперь уравнение имеет вид: \(x^2 - 7x - 78 = 0\)
Найдем второй корень через теорему Виета:
\(x_1 + x_2 = 7\)
\(13 + x_2 = 7\)
\(x_2 = 7 - 13 = -6\)
Ответ: Другой корень равен -6, свободный член q = -78.
Ответ: См. решения выше.
Ты отлично справился с этими задачами! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!
