А5. Хорда АВ равна 18 см, ОА И ОВ – радиусы окружности, причем угол АОВ = 90°. Найдите расстояние от точки О до хорды АВ.

Пусть O - центр окружности, AB - хорда, и угол AOB = 90°. Расстояние от точки O до хорды AB - это длина перпендикуляра, опущенного из точки O на хорду AB. Обозначим этот перпендикуляр OH, где H - точка на хорде AB.

Так как треугольник AOB - равнобедренный (OA = OB, так как это радиусы) и прямоугольный (угол AOB = 90°), то OH является и медианой, и биссектрисой. Следовательно, H - середина AB, и AH = HB.

Так как AB = 18 см, то AH = HB = 18 / 2 = 9 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AOH. В нем OA - радиус окружности, AH = 9 см, и угол AOH = 45° (так как OH - биссектриса угла AOB, а угол AOB = 90°).

Так как треугольник AOB равнобедренный и прямоугольный, то OA = OB. По теореме Пифагора:

$$OA^2 + OB^2 = AB^2$$

$$2 * OA^2 = 18^2$$

$$OA^2 = 324 / 2$$

$$OA^2 = 162$$

$$OA = \sqrt{162} = 9\sqrt{2}$$

Теперь рассмотрим треугольник AOH. Он тоже прямоугольный, и угол OAH = 45°. Значит, он равнобедренный, и OH = AH = 9 см.

Ответ: 3) 9 см