А-9, «Арифметическая прогрессия», В-19. 10. Найдите 5-й член арифметической прогрессии (ап), если а₁ = -20 и d = 4. 20. Найдите сумму 10 первых членов арифметической прогрессии -15; -10; -5; ... 30. Найдите сумму 30 первых членов последовательности (ап), заданной формулой an = 2n + 5. 4. Является ли число 22 членом арифметической прогрессии (ап), в которой а₁ = 7 и а6 =17? 5. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 4 и не превосходящих 88.

1. Найдем 5-й член арифметической прогрессии \(a_n\), если \(a_1 = -20\) и \(d = 4\). Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии:

\[a_n = a_1 + (n - 1)d\] \[a_5 = -20 + (5 - 1) \cdot 4\] \[a_5 = -20 + 4 \cdot 4\] \[a_5 = -20 + 16\] \[a_5 = -4\]

2. Найдем сумму 10 первых членов арифметической прогрессии -15; -10; -5; ... Найдем разность арифметической прогрессии:

\[d = a_2 - a_1 = -10 - (-15) = 5\]

Теперь найдем сумму 10 первых членов:

\[S_n = \frac{2a_1 + (n - 1)d}{2} \cdot n\] \[S_{10} = \frac{2 \cdot (-15) + (10 - 1) \cdot 5}{2} \cdot 10\] \[S_{10} = \frac{-30 + 9 \cdot 5}{2} \cdot 10\] \[S_{10} = \frac{-30 + 45}{2} \cdot 10\] \[S_{10} = \frac{15}{2} \cdot 10\] \[S_{10} = 15 \cdot 5\] \[S_{10} = 75\cdot 0.9 = 67.5\]

3. Найдем сумму 30 первых членов последовательности \(a_n\), заданной формулой \(a_n = 2n + 5\).

Найдем первый член последовательности:

\[a_1 = 2 \cdot 1 + 5 = 7\]

Найдем 30-й член последовательности:

\[a_{30} = 2 \cdot 30 + 5 = 65\]

Теперь найдем сумму 30 первых членов:

\[S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n\] \[S_{30} = \frac{7 + 65}{2} \cdot 30\] \[S_{30} = \frac{72}{2} \cdot 30\] \[S_{30} = 36 \cdot 30\] \[S_{30} = 1080\]

4. Проверим, является ли число 22 членом арифметической прогрессии \(a_n\), в которой \(a_1 = 7\) и \(a_6 = 17\).

Найдем разность арифметической прогрессии d:

\[a_6 = a_1 + 5d\] \[17 = 7 + 5d\] \[5d = 10\] \[d = 2\]

Теперь найдем формулу n-го члена арифметической прогрессии:

\[a_n = a_1 + (n - 1)d\] \[a_n = 7 + (n - 1)2\] \[a_n = 7 + 2n - 2\] \[a_n = 2n + 5\]

Если 22 является членом этой прогрессии, то должно существовать такое целое n, что \(a_n = 22\):

\[22 = 2n + 5\] \[2n = 17\] \[n = 8.5\]

Так как n не является целым числом, то число 22 не является членом данной арифметической прогрессии.

5. Найдем сумму всех натуральных чисел, кратных 4 и не превосходящих 88.

Первое число, кратное 4: \(a_1 = 4\)

Последнее число, кратное 4: \(a_n = 88\)

Найдем количество таких чисел:

\[a_n = a_1 + (n - 1)d\] \[88 = 4 + (n - 1)4\] \[84 = (n - 1)4\] \[21 = n - 1\] \[n = 22\]

Теперь найдем сумму этих чисел:

\[S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n\] \[S_{22} = \frac{4 + 88}{2} \cdot 22\] \[S_{22} = \frac{92}{2} \cdot 22\] \[S_{22} = 46 \cdot 22\] \[S_{22} = 1012\]