a) { 3x – y < 0, x + y > 1; б) { x + y < 5, x – 2y > -15?

Задание а)

У нас есть система неравенств:

• \( 3x - y < 0 \)
• \( x + y > 1 \)

Чтобы решить эту систему, мы можем найти точки пересечения границ этих неравенств, а затем определить, какая область удовлетворяет обоим условиям.

1. Из \( 3x - y < 0 \) получаем \( y > 3x \). Граница — прямая \( y = 3x \).

2. Из \( x + y > 1 \) получаем \( y > 1 - x \). Граница — прямая \( y = 1 - x \).

Найдем точку пересечения прямых \( y = 3x \) и \( y = 1 - x \):

\[ 3x = 1 - x \]

\[ 4x = 1 \]

\[ x = \frac{1}{4} \]

Теперь найдем \( y \):

\[ y = 3x = 3 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \]

Точка пересечения: \( (\frac{1}{4}, \frac{3}{4}) \).

Для \( 3x - y < 0 \), мы заштрихуем область выше прямой \( y = 3x \).

Для \( x + y > 1 \), мы заштрихуем область выше прямой \( y = 1 - x \).

Общим решением будет область, где обе штриховки пересекаются.

Задание б)

У нас есть система неравенств:

• \( x + y < 5 \)
• \( x - 2y > -15 \)

Найдем точки пересечения границ этих неравенств.

1. Из \( x + y < 5 \) получаем \( y < 5 - x \). Граница — прямая \( y = 5 - x \).

2. Из \( x - 2y > -15 \) получаем \( -2y > -15 - x \), что после деления на -2 (и смены знака неравенства) дает \( y < \frac{15}{2} + \frac{x}{2} \) или \( y < 7.5 + 0.5x \). Граница — прямая \( y = 7.5 + 0.5x \).

Найдем точку пересечения прямых \( y = 5 - x \) и \( y = 7.5 + 0.5x \):

\[ 5 - x = 7.5 + 0.5x \]

\[ -2.5 = 1.5x \]

\[ x = \frac{-2.5}{1.5} = \frac{-25}{15} = -\frac{5}{3} \]

Теперь найдем \( y \):

\[ y = 5 - x = 5 - (-\frac{5}{3}) = 5 + \frac{5}{3} = \frac{15}{3} + \frac{5}{3} = \frac{20}{3} \]

Точка пересечения: \( (-\frac{5}{3}, \frac{20}{3}) \).

Для \( x + y < 5 \), мы заштрихуем область ниже прямой \( y = 5 - x \).

Для \( x - 2y > -15 \) (или \( y < 7.5 + 0.5x \)), мы заштрихуем область ниже прямой \( y = 7.5 + 0.5x \).

Общим решением будет область, где обе штриховки пересекаются.

Ответ: Для задания а) область выше прямой y=3x и выше прямой y=1-x. Для задания б) область ниже прямой y=5-x и ниже прямой y=7.5+0.5x.