A = [[3, 6], [4, x]] B = [[5, -2], [3, 4]] Find det(5A^{-1}B') = 5

Решение:

Для решения этой задачи нам нужно найти определитель выражения \( \det(5A^{-1}B') \). Используем свойства определителей:

• \( \det(cA) = c^n \det(A) \), где \( n \) — размерность матрицы.
• \( \det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)} \).
• \( \det(A^T) = \det(A) \).
• \( \det(AB) = \det(A)\det(B) \).

Исходное выражение:

\[ \det(5A^{-1}B') = 5^2 \det(A^{-1}) \det(B') \]\[ = 25 \cdot \frac{1}{\det(A)} \cdot \det(B) \]\[ = \frac{25 \det(B)}{\det(A)} \]

Вычислим определитель матрицы \( A \):

\[ \det(A) = (3 \cdot x) - (6 \cdot 4) = 3x - 24 \]

Вычислим определитель матрицы \( B \):

\[ \det(B) = (5 \cdot 4) - (-2 \cdot 3) = 20 - (-6) = 20 + 6 = 26 \]

Теперь подставим найденные значения в формулу:

\[ \frac{25 \det(B)}{\det(A)} = \frac{25 \cdot 26}{3x - 24} = \frac{650}{3x - 24} \]

По условию задачи, \( \det(5A^{-1}B') = 5 \). Следовательно:

\[ \frac{650}{3x - 24} = 5 \]

Решим это уравнение относительно \( x \):

\[ 650 = 5(3x - 24) \]\[ 650 = 15x - 120 \]\[ 650 + 120 = 15x \]\[ 770 = 15x \]\[ x = \frac{770}{15} = \frac{154}{3} \]

Ответ: \( x = \frac{154}{3} \).