Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
012.9. a) 2 logg x = logg 2,5 + logg 10; 6) 3 log2 1/2 - log2 1/32 = log2 x; B) 3 log₁/₇ x = log₁/₇ 9 + log₁/₇ 3; r) 4 logo,1 x = lg0,1 2 + logo,1 8. 012.10. a) log₃ (x - 2) + log₃ (x + 2) = log₃ (2x - 1); 6) log₁₁ (x + 4) + log₁₁ (x - 7) = log₁₁ (7 - x); B) logo, (x + 3) + logo,6 (x - 3) = log0,6 (2x - 1); r) logo, (x + 2) + logo,4 (x + 3) = log0,4 (1-x).
Ответ:
Привет! Давай решим эти логарифмические уравнения. Будем использовать свойства логарифмов, чтобы упростить выражения и найти значения x.
012.9. a) \(2 \log_8 x = \log_8 2.5 + \log_8 10\)
- Сначала упростим правую часть, используя свойство \(\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)\):
\[\log_8 2.5 + \log_8 10 = \log_8 (2.5 \cdot 10) = \log_8 25\] - Теперь у нас есть уравнение: \(2 \log_8 x = \log_8 25\).
- Используем свойство \(n \log_a x = \log_a x^n\):
\[\log_8 x^2 = \log_8 25\] - Так как логарифмы равны, то и аргументы равны:
\[x^2 = 25\] - Решаем квадратное уравнение: \(x = \pm 5\). Но так как логарифм определен только для положительных чисел, то \(x = 5\).
Ответ: x = 5
б) \(3 \log_2 \frac{1}{2} - \log_2 \frac{1}{32} = \log_2 x\)
- Упростим, используя свойства логарифмов:
\[3 \log_2 \frac{1}{2} = \log_2 \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \log_2 \frac{1}{8}\]
\[\log_2 \frac{1}{32} = \log_2 2^{-5} = -5\log_2 2 = -5\] - Теперь уравнение выглядит так:
\[\log_2 \frac{1}{8} - (-5) = \log_2 x\]
\[\log_2 \frac{1}{8} + 5 = \log_2 x\] - Преобразуем 5 в логарифм по основанию 2:
\[5 = 5 \log_2 2 = \log_2 2^5 = \log_2 32\] - Подставим в уравнение:
\[\log_2 \frac{1}{8} + \log_2 32 = \log_2 x\]
\[\log_2 \left(\frac{1}{8} \cdot 32\right) = \log_2 x\]
\[\log_2 4 = \log_2 x\] - Следовательно, \(x = 4\).
Ответ: x = 4
в) \(3 \log_{\frac{1}{7}} x = \log_{\frac{1}{7}} 9 + \log_{\frac{1}{7}} 3\)
- Сначала упростим правую часть:
\[\log_{\frac{1}{7}} 9 + \log_{\frac{1}{7}} 3 = \log_{\frac{1}{7}} (9 \cdot 3) = \log_{\frac{1}{7}} 27\] - Теперь у нас есть уравнение:
\[3 \log_{\frac{1}{7}} x = \log_{\frac{1}{7}} 27\] - Используем свойство логарифмов:
\[\log_{\frac{1}{7}} x^3 = \log_{\frac{1}{7}} 27\] - Тогда:
\[x^3 = 27\] - Решаем уравнение: \(x = \sqrt[3]{27} = 3\).
Ответ: x = 3
г) \(4 \log_{0.1} x = \log_{0.1} 2 + \log_{0.1} 8\)
- Упростим правую часть:
\[\log_{0.1} 2 + \log_{0.1} 8 = \log_{0.1} (2 \cdot 8) = \log_{0.1} 16\] - Теперь у нас есть уравнение:
\[4 \log_{0.1} x = \log_{0.1} 16\] - Используем свойство логарифмов:
\[\log_{0.1} x^4 = \log_{0.1} 16\] - Тогда:
\[x^4 = 16\] - Решаем уравнение: \(x = \sqrt[4]{16} = 2\).
Ответ: x = 2
012.10. a) \(\log_3 (x - 2) + \log_3 (x + 2) = \log_3 (2x - 1)\)
- Используем свойство логарифмов:
\[\log_3 ((x - 2)(x + 2)) = \log_3 (2x - 1)\]
\[\log_3 (x^2 - 4) = \log_3 (2x - 1)\] - Тогда:
\[x^2 - 4 = 2x - 1\] - Переносим все в одну сторону:
\[x^2 - 2x - 3 = 0\] - Решаем квадратное уравнение через дискриминант:
\[D = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16\]
\[x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{2 + 4}{2} = 3\]
\[x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{2 - 4}{2} = -1\] - Проверяем корни:
Для \(x = 3\): \(\log_3(3-2) + \log_3(3+2) = \log_3(1) + \log_3(5) = 0 + \log_3(5)\)
\(\log_3(2(3) - 1) = \log_3(5)\). Подходит.
Для \(x = -1\): \(\log_3(-1 - 2)\) не определен.
Ответ: x = 3
б) \(\log_{11} (x + 4) + \log_{11} (x - 7) = \log_{11} (7 - x)\)
- Используем свойство логарифмов:
\[\log_{11} ((x + 4)(x - 7)) = \log_{11} (7 - x)\] - Тогда:
\[(x + 4)(x - 7) = 7 - x\]
\[x^2 - 7x + 4x - 28 = 7 - x\]
\[x^2 - 3x - 28 = 7 - x\]
\[x^2 - 2x - 35 = 0\] - Решаем квадратное уравнение через дискриминант:
\[D = (-2)^2 - 4(1)(-35) = 4 + 140 = 144\]
\[x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{144}}{2(1)} = \frac{2 + 12}{2} = 7\]
\[x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{144}}{2(1)} = \frac{2 - 12}{2} = -5\] - Проверяем корни:
Для \(x = 7\): \(\log_{11}(7 - 7) = \log_{11}(0)\) не определен.
Для \(x = -5\): \(\log_{11}(-5 + 4) = \log_{11}(-1)\) не определен.
Ответ: нет решений
в) \(\log_{0.6} (x + 3) + \log_{0.6} (x - 3) = \log_{0.6} (2x - 1)\)
- Используем свойство логарифмов:
\[\log_{0.6} ((x + 3)(x - 3)) = \log_{0.6} (2x - 1)\]
\[\log_{0.6} (x^2 - 9) = \log_{0.6} (2x - 1)\] - Тогда:
\[x^2 - 9 = 2x - 1\]
\[x^2 - 2x - 8 = 0\] - Решаем квадратное уравнение через дискриминант:
\[D = (-2)^2 - 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36\]
\[x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{36}}{2(1)} = \frac{2 + 6}{2} = 4\]
\[x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{36}}{2(1)} = \frac{2 - 6}{2} = -2\] - Проверяем корни:
Для \(x = 4\): \(\log_{0.6}(4 + 3) + \log_{0.6}(4 - 3) = \log_{0.6}(7) + \log_{0.6}(1) = \log_{0.6}(7)\)
\(\log_{0.6}(2(4) - 1) = \log_{0.6}(7)\). Подходит.
Для \(x = -2\): \(\log_{0.6}(-2 + 3) = \log_{0.6}(1) = 0\)
\(\log_{0.6}(2(-2) - 1) = \log_{0.6}(-5)\) не определен.
Ответ: x = 4
г) \(\log_{0.4} (x + 2) + \log_{0.4} (x + 3) = \log_{0.4} (1 - x)\)
- Используем свойство логарифмов:
\[\log_{0.4} ((x + 2)(x + 3)) = \log_{0.4} (1 - x)\] - Тогда:
\[(x + 2)(x + 3) = 1 - x\]
\[x^2 + 3x + 2x + 6 = 1 - x\]
\[x^2 + 5x + 6 = 1 - x\]
\[x^2 + 6x + 5 = 0\] - Решаем квадратное уравнение через дискриминант:
\[D = 6^2 - 4(1)(5) = 36 - 20 = 16\]
\[x_1 = \frac{-6 + \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{-6 + 4}{2} = -1\]
\[x_2 = \frac{-6 - \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{-6 - 4}{2} = -5\] - Проверяем корни:
Для \(x = -1\): \(\log_{0.4}(-1 + 2) + \log_{0.4}(-1 + 3) = \log_{0.4}(1) + \log_{0.4}(2) = 0 + \log_{0.4}(2)\)
\(\log_{0.4}(1 - (-1)) = \log_{0.4}(2)\). Подходит.
Для \(x = -5\): \(\log_{0.4}(-5 + 2) = \log_{0.4}(-3)\) не определен.
Ответ: x = -1
Вот и все! Ты отлично справился с этими уравнениями! У тебя все получится!
