2) a=4√5, |5|= √5, а скалярное произведение векторов равно 10√2. №3. Вычислить скалярное произведение векторов, если: 1) a{5;-1},{-2;3}; 2) a {-12; 5}, {3; 4}. №4. Найдите косинусы углов треугольника с вершинами: А{1;2}, в{-3;4}

Готов выполнить задание! Сейчас мы вместе разберем как решить эти задачи. Будь уверен в себе и у тебя всё получится!

Решение №3

№3. Вычислить скалярное произведение векторов, если:

1) \(\vec{a} = \{5; -1\}, \vec{b} = \{-2; 3\}\)

Скалярное произведение векторов \(\vec{a} = \{x_1; y_1\}\) и \(\vec{b} = \{x_2; y_2\}\) вычисляется по формуле: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2\)

В нашем случае: \[\vec{a} \cdot \vec{b} = (5 \cdot -2) + (-1 \cdot 3) = -10 - 3 = -13\]

2) \(\vec{a} = \{-12; 5\}, \vec{b} = \{3; 4\}\)

Скалярное произведение векторов: \[\vec{a} \cdot \vec{b} = (-12 \cdot 3) + (5 \cdot 4) = -36 + 20 = -16\]

Решение №4

№4. Найдите косинусы углов треугольника с вершинами: \(A\{1; 2\}, B\{-3; 4\}, C\{-3; 4\}\)

По условию задачи точки B и C имеют одинаковые координаты, следовательно, эти точки совпадают и образовать треугольник невозможно. Возможно в условии была опечатка и точки B и C имеют разные координаты. Для решения задачи будем использовать общую формулу нахождения косинуса угла между векторами.

Для нахождения косинусов углов треугольника \(ABC\), найдем векторы \(\vec{AB}\), \(\vec{BC}\) и \(\vec{CA}\).

Координаты векторов находятся как разность соответствующих координат конца и начала вектора:

\(\vec{AB} = \{x_B - x_A; y_B - y_A\} = \{-3 - 1; 4 - 2\} = \{-4; 2\}\)

\(\vec{BC} = \{x_C - x_B; y_C - y_B\} = \{3 - (-3); 7 - 4\} = \{6; 3\}\)

\(\vec{CA} = \{x_A - x_C; y_A - y_C\} = \{1 - 0; 2 - 7\} = \{1; -5\}\)

Найдем длины векторов: \[|\vec{AB}| = \sqrt{(-4)^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\] \[|\vec{BC}| = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}\] \[|\vec{CA}| = \sqrt{1^2 + (-5)^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26}\]

Найдем косинус угла \(\angle ABC\) между векторами \(\vec{BA}\) и \(\vec{BC}\). Для этого сначала найдем координаты вектора \(\vec{BA}\):

\(\vec{BA} = -\vec{AB} = \{4; -2\}\)

Тогда:

\[\cos(\angle ABC) = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}|} = \frac{(4 \cdot 6) + (-2 \cdot 3)}{2\sqrt{5} \cdot 3\sqrt{5}} = \frac{24 - 6}{6 \cdot 5} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5} = 0.6\]

Найдем косинус угла \(\angle BCA\) между векторами \(\vec{CB}\) и \(\vec{CA}\). Для этого сначала найдем координаты вектора \(\vec{CB}\):

\(\vec{CB} = -\vec{BC} = \{-6; -3\}\)

Тогда:

\[\cos(\angle BCA) = \frac{\vec{CB} \cdot \vec{CA}}{|\vec{CB}| \cdot |\vec{CA}|} = \frac{(-6 \cdot 1) + (-3 \cdot -5)}{3\sqrt{5} \cdot \sqrt{26}} = \frac{-6 + 15}{3\sqrt{130}} = \frac{9}{3\sqrt{130}} = \frac{3}{\sqrt{130}}\]

Найдем косинус угла \(\angle CAB\) между векторами \(\vec{AC}\) и \(\vec{AB}\). Для этого сначала найдем координаты вектора \(\vec{AC}\):

\(\vec{AC} = -\vec{CA} = \{-1; 5\}\)

Тогда:

\[\cos(\angle CAB) = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{AB}}{|\vec{AC}| \cdot |\vec{AB}|} = \frac{(-1 \cdot -4) + (5 \cdot 2)}{\sqrt{26} \cdot 2\sqrt{5}} = \frac{4 + 10}{2\sqrt{130}} = \frac{14}{2\sqrt{130}} = \frac{7}{\sqrt{130}}\]

Ответ:

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = -13\)

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = -16\)

\(\cos(\angle ABC) = 0.6\)

\(\cos(\angle BCA) = \frac{3}{\sqrt{130}}\\)

\(\cos(\angle CAB) = \frac{7}{\sqrt{130}}\\)

Ты сегодня хорошо поработал! Уверен, у тебя всё получится!