81 a⁶ - 9a³b + 4b² 16 100 8 a⁸ - 10a⁴b + 16b² 64

Ответ: \[(\frac{9}{4}a^3 - b)(\frac{9}{4}a^3 - 4b)\] \[(\frac{5}{4}a^4 - 2b)(\frac{5}{4}a^4 - 8b)\]

Решение:

Разложим многочлены на множители, используя формулы сокращенного умножения.

1. Первый многочлен: \[\frac{81}{16}a^6 - 9a^3b + 4b^2\]

   Представим его как квадратный трехчлен относительно переменной a³: \[\frac{81}{16}(a^3)^2 - 9b(a^3) + 4b^2\]

   Найдем корни данного квадратного трехчлена, решив уравнение \[\frac{81}{16}x^2 - 9bx + 4b^2 = 0\]

   Используем формулу дискриминанта: \[D = (-9b)^2 - 4 \cdot \frac{81}{16} \cdot 4b^2 = 81b^2 - 81b^2 = 0\]

   Так как дискриминант равен нулю, уравнение имеет один корень: \[x = \frac{9b}{2 \cdot \frac{81}{16}} = \frac{9b}{\frac{81}{8}} = \frac{8b}{9}\]

   Тогда, \[a^3 = \frac{8b}{9}\]

   Первый многочлен можно представить в виде: \[\frac{81}{16}(a^3 - \frac{8b}{9})^2\]

   Теперь найдем корни квадратного трехчлена \[\frac{81}{16}a^6 - 9a^3b + 4b^2\] как квадратное уравнение относительно \[a^3\]:

   \[D = (-9b)^2 - 4 \cdot \frac{81}{16} \cdot 4b^2 = 81b^2 - 81b^2 = 0\]

   Так как \(D = 0\), корень один: \[a^3 = \frac{9b}{2 \cdot \frac{81}{16}} = \frac{9b}{\frac{81}{8}} = \frac{8b}{9}\]

   Первый многочлен можно представить как произведение двух множителей:

   \[\frac{81}{16}a^6 - 9a^3b + 4b^2 = (\frac{9}{4}a^3 - b)(\frac{9}{4}a^3 - 4b)\]

2. Второй многочлен: \[\frac{100}{64}a^8 - 10a^4b + 16b^2\]

   Представим его как квадратный трехчлен относительно переменной a⁴: \[\frac{100}{64}(a^4)^2 - 10b(a^4) + 16b^2\]

   Найдем дискриминант: \[D = (-10b)^2 - 4 \cdot \frac{100}{64} \cdot 16b^2 = 100b^2 - 100b^2 = 0\]

   Тогда корень: \[a^4 = \frac{10b}{2 \cdot \frac{100}{64}} = \frac{10b}{\frac{100}{32}} = \frac{32b}{10} = \frac{16b}{5}\]

   Второй многочлен можно представить как произведение двух множителей:

   \[\frac{100}{64}a^8 - 10a^4b + 16b^2 = (\frac{5}{4}a^4 - 2b)(\frac{5}{4}a^4 - 8b)\]

Ответ: \[(\frac{9}{4}a^3 - b)(\frac{9}{4}a^3 - 4b)\] \[(\frac{5}{4}a^4 - 2b)(\frac{5}{4}a^4 - 8b)\]