A 150° C D Рис. 4.167 B A Вариант І 1. Рис. 4.167. Дано: AD - биссектриса угла А. Найти: острые углы треугольника ADC. 2. Биссектриса прямого угла прямоугольно- го треугольника образует с гипотенузой углы, один из которых равен 70°. Найдите острые углы этого треугольника. 3. Докажите равенство прямоугольных тре- угольников по катету и высоте, опущенной на гипотенузу.

1. Шаг 1: Найдем ∠ABC

   Сумма смежных углов равна 180°, поэтому:

   ∠ABC = 180° - 150° = 30°

2. Шаг 2: Найдем ∠BAC

   Сумма углов в треугольнике ABC равна 180°:

   ∠BAC = 180° - ∠ABC - ∠BCA = 180° - 30° - 90° = 60°

3. Шаг 3: Найдем ∠DAC

   AD - биссектриса, значит, она делит угол ∠BAC пополам:

   ∠DAC = ∠BAC / 2 = 60° / 2 = 30°

4. Шаг 4: Найдем ∠ADC

   Сумма углов в треугольнике ADC равна 180°:

   ∠ADC = 180° - ∠DAC - ∠DCA = 180° - 30° - 90° = 60°

Ответ: ∠DAC = 30°, ∠ADC = 60°

1. Шаг 1. Разберемся с задачей №2

   Пусть дан прямоугольный треугольник, в котором биссектриса прямого угла образует с гипотенузой угол 70°. Нам нужно найти острые углы этого треугольника.

2. Шаг 2. Определим углы, образованные биссектрисой

   Биссектриса делит прямой угол (90°) пополам, то есть каждый из углов равен 45°. Один из углов, образованных биссектрисой с гипотенузой, равен 70° (по условию). Следовательно, другой угол равен 180° - 70° = 110°.

3. Шаг 3. Рассмотрим треугольник, образованный биссектрисой и гипотенузой

   В этом треугольнике один из углов равен 45°, а другой 70°. Третий угол можно найти как 180° - (45° + 70°) = 65°.

4. Шаг 4. Найдем острые углы исходного прямоугольного треугольника

   Один из острых углов равен 65°. Второй угол равен 90° - 65° = 25°.

   Таким образом, острые углы этого треугольника равны 65° и 25°.

Ответ: 25°, 65°

1. Задача №3. Доказательство равенства прямоугольных треугольников

   Рассмотрим два прямоугольных треугольника, у которых равны катет и высота, опущенная на гипотенузу.

2. Шаг 1. Обозначим треугольники

   Пусть даны прямоугольные треугольники ABC и A₁B₁C₁, где ∠C = ∠C₁ = 90°.

3. Шаг 2. Укажем равные элементы

   Пусть AC = A₁C₁ и высота, опущенная из вершины C на гипотенузу AB, равна высоте, опущенной из вершины C₁ на гипотенузу A₁B₁.

4. Шаг 3. Докажем равенство треугольников

   Проведем высоты CH и C₁H₁ к гипотенузам AB и A₁B₁ соответственно. По условию, CH = C₁H₁.

5. Шаг 4. Рассмотрим треугольники ACH и A₁C₁H₁

   В треугольниках ACH и A₁C₁H₁: AC = A₁C₁ (по условию), CH = C₁H₁ (по условию), ∠AHC = ∠A₁H₁C₁ = 90°.

   Следовательно, треугольники ACH и A₁C₁H₁ равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

6. Шаг 5. Сделаем вывод о равенстве углов

   Из равенства треугольников ACH и A₁C₁H₁ следует, что ∠A = ∠A₁.

7. Шаг 6. Рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁

   В треугольниках ABC и A₁B₁C₁: ∠C = ∠C₁ = 90°, AC = A₁C₁ (по условию), ∠A = ∠A₁ (доказано выше).

   Следовательно, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по катету и прилежащему острому углу.

8. Шаг 7. Заключение

   Таким образом, доказано, что прямоугольные треугольники равны, если у них равны катет и высота, опущенная на гипотенузу.

Ответ: доказано

Ответ: ∠DAC = 15°, ∠ADC = 75°

Ответ: ∠DAC = 15°, ∠ADC = 75°