9 Из пункта А в направлении пункта Б, расстояние между которыми равно 120 км, в 9 часов утра выехал велосипедист, а через некоторое время из пункта А в том же направлении выехал автомобиль. Доехав до пункта Б, водитель автомобиля сделал остановку на 3 часа, а затем с той же скоростью поехал обратно. На рисунке график движения велосипедиста обозначен цифрой 1, график движения автомобиля обозначен цифрой 2 и приведён только на пути из А в Б. По горизонтали указано время, а по вертикали — расстояние от пункта А. 1) Найдите, на каком расстоянии от пункта А автомобиль догнал велосипедиста. 2) На том же рисунке достройте график движения автомобиля до момента возвращения в пункт А.

Решение:

1. Определение момента и места встречи автомобиля и велосипедиста:

Анализ графика велосипедиста (график 1):

• В 9:00 велосипедист выехал из пункта А.
• График показывает, что к 12:00 (через 3 часа) велосипедист проехал 60 км.
• Скорость велосипедиста: \( v_{\text{велосипедиста}} = \frac{60 \text{ км}}{3 \text{ ч}} = 20 \text{ км/ч} \).
• Время, за которое велосипедист проедет 120 км: \( t_{\text{велосипедиста}} = \frac{120 \text{ км}}{20 \text{ км/ч}} = 6 \text{ ч} \).
• Значит, велосипедист достигнет пункта Б в 9:00 + 6 часов = 15:00.

Анализ графика автомобиля (график 2):

• Автомобиль выехал позже велосипедиста. Из графика видно, что автомобиль начал движение в 10:00.
• К 12:00 автомобиль проехал 100 км.
• Время движения автомобиля до 12:00 составляет 12:00 - 10:00 = 2 часа.
• Скорость автомобиля: \( v_{\text{автомобиля}} = \frac{100 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 50 \text{ км/ч} \).
• Уравнение движения автомобиля: \( S_{\text{автомобиля}}(t) = 50 ' (t - 10) \) (где \( t \) — время в часах, \( t > 10 \)).
• Уравнение движения велосипедиста: \( S_{\text{велосипедиста}}(t) = 20 ' (t - 9) \) (где \( t \) — время в часах, \( t > 9 \)).

Нахождение точки встречи:

Автомобиль догнал велосипедиста, когда их расстояния от пункта А стали равны:

• \( S_{\text{автомобиля}}(t) = S_{\text{велосипедиста}}(t) \)
• \( 50 ' (t - 10) = 20 ' (t - 9) \)
• \( 50t - 500 = 20t - 180 \)
• \( 30t = 320 \)
• \( t = \frac{320}{30} = \frac{32}{3} \text{ часа} \)
• \( t = 10 \text{ часов} + \frac{2}{3} \text{ часа} = 10 \text{ часов} + 40 \text{ минут} \).

Таким образом, автомобиль догнал велосипедиста в 10:40.

Найдем расстояние от пункта А в этот момент:

• \( S = 20 ' (\frac{32}{3} - 9) = 20 ' (\frac{32 - 27}{3}) = 20 ' \frac{5}{3} = \frac{100}{3} \text{ км} \)
• \( S \approx 33.33 \text{ км} \)

Ответ: автомобиль догнал велосипедиста на расстоянии \( \frac{100}{3} \text{ км} \) (или примерно 33.33 км) от пункта А.

2. Построение графика движения автомобиля до момента возвращения в пункт А:

Движение автомобиля из пункта А в пункт Б:

• Автомобиль выехал в 10:00 и к 12:00 проехал 100 км.
• В 12:00 автомобиль достиг пункта Б (120 км), но по графику он проехал только 100 км. Это означает, что автомобиль достиг отметки 100 км в 12:00.
• Пунктом Б является расстояние 120 км. Чтобы доехать до пункта Б, автомобилю нужно проехать еще 20 км.
• Скорость автомобиля 50 км/ч. Время на оставшиеся 20 км: \( \frac{20 \text{ км}}{50 \text{ км/ч}} = 0.4 \text{ ч} = 24 \text{ мин} \).
• Таким образом, автомобиль достиг пункта Б в 12:00 + 24 мин = 12:24.

Остановка в пункте Б:

• Автомобиль сделал остановку на 3 часа.
• Время окончания остановки: 12:24 + 3 часа = 15:24.

Возвращение автомобиля в пункт А:

• Автомобиль едет обратно с той же скоростью 50 км/ч.
• Расстояние до пункта А = 120 км.
• Время в пути обратно: \( \frac{120 \text{ км}}{50 \text{ км/ч}} = 2.4 \text{ ч} = 2 \text{ часа} + 0.4 ' 60 \text{ мин} = 2 \text{ часа} + 24 \text{ мин} \).
• Время прибытия в пункт А: 15:24 + 2 часа 24 мин = 17:48.

График движения автомобиля:

• 10:00 - 12:24: движение из А в Б (до 120 км).
• 12:24 - 15:24: остановка в пункте Б (расстояние 120 км).
• 15:24 - 17:48: движение из Б в А (до 0 км).

График на рисунке:

График будет состоять из трех частей:

1. Линия, идущая из точки (10, 0) в точку (12.4, 120) (примерно, учитывая, что 12:00 -> 100 км, значит 120 км будет чуть позже 12:00). Более точно: из (10, 0) в (12.4, 120).
2. Горизонтальная линия от (12.4, 120) до (15.4, 120) (3 часа остановки).
3. Линия, идущая из (15.4, 120) в (17.8, 0) (время 17:48).

Примечание: В задании указано, что на рисунке график автомобиля приведен только на пути из А в Б. Чтобы достроить график, необходимо добавить линии, соответствующие остановке и возвращению.