990. Представьте выражение в виде степени с основанием 3 и найдите его значение: a) 27\cdot 3^{-4}; б) (3^{-1})^{5} \cdot 81^{2}; в) 9^{-2}: 3^{-6}; г) 81^{3}: (9^{-2})^{-3}.

Решение:

Для решения этих задач будем использовать свойства степеней:

• $$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$
• $$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$
• $$a^m : a^n = a^{m-n}$$
• $$(ab)^n = a^n b^n$$
• $$a^0 = 1$$
• $$(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$$

а) $$27 \cdot 3^{-4}$$

1. Представим $$27$$ как степень тройки: $$27 = 3^3$$.
2. Теперь выражение выглядит так: $$3^3 \cdot 3^{-4}$$.
3. Применяем свойство $$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$: $$3^{3 + (-4)} = 3^{-1}$$.

Ответ: $$3^{-1}$$

б) $$(3^{-1})^{5} \cdot 81^{2}$$

1. Сначала упростим $$(3^{-1})^{5}$$ по свойству $$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$: $$3^{-1 \cdot 5} = 3^{-5}$$.
2. Представим $$81$$ как степень тройки: $$81 = 3^4$$.
3. Тогда $$81^2 = (3^4)^2 = 3^{4 \cdot 2} = 3^8$$.
4. Теперь выражение: $$3^{-5} \cdot 3^8$$.
5. Применяем свойство $$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$: $$3^{-5 + 8} = 3^3$$.

Ответ: $$3^{3}$$

в) $$9^{-2} : 3^{-6}$$

1. Представим $$9$$ как степень тройки: $$9 = 3^2$$.
2. Тогда $$9^{-2} = (3^2)^{-2} = 3^{2 \cdot (-2)} = 3^{-4}$$.
3. Теперь выражение: $$3^{-4} : 3^{-6}$$.
4. Применяем свойство $$a^m : a^n = a^{m-n}$$: $$3^{-4 - (-6)} = 3^{-4 + 6} = 3^2$$.

Ответ: $$3^{2}$$

г) $$81^{3} : (9^{-2})^{-3}$$

1. Представим $$81$$ как степень тройки: $$81 = 3^4$$.
2. Тогда $$81^3 = (3^4)^3 = 3^{4 \cdot 3} = 3^{12}$$.
3. Упростим знаменатель $$(9^{-2})^{-3}$$ по свойству $$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$: $$9^{-2 \cdot (-3)} = 9^6$$.
4. Представим $$9^6$$ как степень тройки: $$9^6 = (3^2)^6 = 3^{2 \cdot 6} = 3^{12}$$.
5. Теперь выражение: $$3^{12} : 3^{12}$$.
6. Применяем свойство $$a^m : a^n = a^{m-n}$$: $$3^{12 - 12} = 3^0$$.

Ответ: $$3^{0}$$